Какое наименьшее значение может принимать выражение 1/x+1/y, если x и y - положительные числа и x+y=5?

Для данной задачи нам необходимо найти наименьшее значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\), при условии, что \(x\) и \(y\) являются положительными числами и их сумма равна 5.

Для начала, давайте рассмотрим обратные значения \(1/x\) и \(1/y\). Очевидно, что чем больше число, тем меньше его обратное значение. Также, эти значения стремятся к бесконечности, когда число само по себе стремится к нулю. Следовательно, наша задача - сделать значения \(1/x\) и \(1/y\) как можно больше.

Из условия задачи, мы знаем, что \(x + y = 5\). Теперь предположим, что \(x\) и \(y\) равны друг другу, то есть \(x = y\). Это означает, что каждое из чисел равно 2.5.

Теперь мы можем посчитать обратные значения \(1/x\) и \(1/y\):

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{2.5} = 0.4\)

\(\frac{1}{y} = \frac{1}{2.5} = 0.4\)

Теперь сложим эти значения:

\(0.4 + 0.4 = 0.8\)

Таким образом, наименьшее значение выражения \(1/x + 1/y\) равно 0.8 при \(x = y = 2.5\).

Мы можем также подтвердить это, решив задачу с использованием метода нахождения минимума функции одной переменной. Если мы выразим одну переменную через другую из уравнения \(x + y = 5\), получим \(y = 5 - x\). Подставив это в выражение, получим:

\(f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{5 - x}\)

Чтобы найти минимум этой функции, производная \(f"(x)\) должна быть равна 0. После несложных вычислений получаем:

\(f"(x) = \frac{2}{x^2} - \frac{1}{(5 - x)^2}\)

\(0 = \frac{2}{x^2} - \frac{1}{(5 - x)^2}\)

\(0 = \frac{2(5 - x)^2 - x^2}{x^2(5 - x)^2}\)

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение \(x^2 - 10x + 25 = 0\). Решая это уравнение, получаем два корня: \(x = 2.5\) и \(x = 7.5\).

Теперь можем проверить значения на краях интервала: \(x = 0\) и \(x = 5\).

\(\frac{1}{0} + \frac{1}{5} = \text{undefined}\)

\(\frac{1}{5} + \frac{1}{0} = \text{undefined}\)

Эти значения не определены, поэтому наименьшее значение достигается внутри интервала \(0 < x < 5\), а именно при \(x = 2.5\) (и соответственно \(y = 5 - 2.5 = 2.5\)).

Таким образом, наименьшее значение выражения \(1/x + 1/y\) равно 0.8 при \(x = y = 2.5\).