Какое наименьшее простое число с удовлетворяет условию, что значение выражения c²+9 также является простым числом?

Чтобы найти наименьшее простое число \(c\), которое удовлетворяет условию, что значение выражения \(c^2 + 9\) также является простым числом, нам необходимо рассмотреть все возможные значения \emph{четных} и \emph{нечетных} чисел \(c\). Давайте начнем с четных чисел.

Предположим, что \(c\) - четное число. В таком случае, \(c\) можно записать в виде \(c = 2n\), где \(n\) - целое число. Подставляя это значение в наше выражение, получаем:
\[c^2 + 9 = (2n)^2 + 9 = 4n^2 + 9.\]

Обратите внимание, что выражение \(4n^2 + 9\) всегда будет иметь остаток 1 при делении на 4. Таким образом, полученное значение не может быть простым числом. Это означает, что четные значения \(c\) не удовлетворяют условию задачи.

Исключив все четные значения, остаются нечетные. Предположим, что \(c\) - нечетное число. Подставляя его в выражение, получаем:
\[c^2 + 9.\]

Здесь нам нужно обратить внимание на два факта. Первый факт заключается в том, что квадрат любого нечетного числа будет иметь остаток 1 при делении на 4. Второй факт состоит в том, что сумма числа 9 с числом, имеющим остаток 1 при делении на 4, всегда будет иметь остаток 2 при делении на 4.

Исходя из этих двух фактов, мы можем утверждать, что \(c^2 + 9\) будет иметь остаток 2 при делении на 4 для любого нечетного значения \(c\).

Теперь рассмотрим несколько нечетных значений \(c\), чтобы увидеть, не является ли \(c^2 + 9\) простым числом:

Пусть \(c = 1\). Тогда \(c^2 + 9 = 1^2 + 9 = 10\), что не является простым числом.

Пусть \(c = 3\). Тогда \(c^2 + 9 = 3^2 + 9 = 18\), также не является простым числом.

Пусть \(c = 5\). Тогда \(c^2 + 9 = 5^2 + 9 = 34\), также не является простым числом.

Мы можем продолжать проверять все нечетные значения \(c\), но замечаем, что в каждом случае полученное значение не является простым числом.

Из этого можно сделать вывод, что нет такого наименьшего простого числа \(c\), для которого \(c^2 + 9\) также является простым числом.