Какое наименьшее натуральное число является интересным, если его удвоенное значение является точным квадратом

Чтобы решить эту задачу, давайте предположим, что искомое число равно \(x\).

Условие говорит нам, что удвоенное значение этого числа (\(2x\)) является точным квадратом некоторого числа. Мы можем записать это в уравнении:

\[2x = n^2\]

где \(n\) - некоторое натуральное число.

Также предоставляется информация о том, что умножение числа на 15 (\(15x\)) является точным кубом некоторого числа:

\[15x = m^3\]

где \(m\) - некоторое натуральное число.

Теперь, чтобы найти наименьшее возможное значение для числа \(x\), мы можем просто попробовать разные значения для \(x\) и проверить, соответствуют ли они условиям.

Давайте начнем с наименьшего натурального числа - 1:

При \(x = 1\), удвоенное значение равно \(2 \cdot 1 = 2\), что не является точным квадратом, потому что числа 2 и 1 не квадраты натуральных чисел.

Теперь давайте проверим число 2:

При \(x = 2\), удвоенное значение равно \(2 \cdot 2 = 4\), что есть точный квадрат числа 2. Также, при \(x = 2\), умножение на 15 равно \(15 \cdot 2 = 30\), что не является точным кубом натурального числа.

Проверим следующее число - 3:

При \(x = 3\), удвоенное значение равно \(2 \cdot 3 = 6\), что не является точным квадратом. Также, при \(x = 3\), умножение на 15 равно \(15 \cdot 3 = 45\), что также не является точным кубом.

И так далее...

Продолжим таким образом, пока не найдем число \(x\), которое удовлетворяет обоим условиям задачи.

Немного долгих вычислений, и мы найдем, что наименьшее такое число \(x = 120\). При \(x = 120\), удвоенное значение равно \(2 \cdot 120 = 240\), что является точным квадратом числа 16. Также, при \(x = 120\), умножение на 15 равно \(15 \cdot 120 = 1800\), что является точным кубом числа 30.

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое является интересным в данной условии, равно 120.