Какое наименьшее натуральное число n, при котором цифра 1 встречается ровно 40 раз в числах от 1

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Мы ищем наименьшее натуральное число \( n \), при котором цифра 1 встречается ровно 40 раз в числах от 1 до \( n \).

Шаг 1: Давайте посмотрим, сколько раз цифра 1 появляется в числах от 1 до 10. В этом диапазоне у нас есть следующие числа с цифрой 1: 1, 10. Всего цифра 1 появляется 2 раза.

Шаг 2: Теперь посмотрим на числа от 1 до 100. В этом диапазоне цифра 1 появляется в десятичных единицах в каждом десятке (10, 11, 12, ..., 19) и также в сотнях (100, 101, ..., 199). Всего цифра 1 появляется \( 9 + 1 = 10 \) раз. Это получается из того факта, что в каждом десятке появляется одно число с цифрой 1 (число 10) и в каждой сотне появляется 10 чисел с цифрой 1.

Шаг 3: Посмотрим на числа от 1 до 1000. В этом диапазоне цифра 1 появляется в десятичных единицах в каждом десятке и сотне, а также в тысячах (1000, 1001, ..., 1999). Количество чисел с цифрой 1 в десятках и сотнях остается тем же, что и в предыдущем шаге, то есть 10. Дополнительно у нас есть 1000 чисел с цифрой 1 в тысячах. Итак, в этом диапазоне цифра 1 появляется \( 10 + 1000 = 1010 \) раз.

Шаг 4: Продолжим эту логику для диапазона от 1 до 10000. Количество чисел с цифрой 1 в десятках, сотнях и тысячах остается тем же, что и в предыдущем шаге, то есть 1010. Остается еще 10000 чисел с цифрой 1 в десятках тысяч, тысячах и десятках тысяч. Итак, в этом диапазоне цифра 1 появляется \( 1010 + 10000 = 11010 \) раз.

Мы видим, что количество чисел с цифрой 1 растет с каждым шагом при добавлении нового разряда. Мы знаем, что в диапазоне от 1 до 10000 цифра 1 появляется 11010 раз. Для нашей задачи нам нужно найти наименьшее число, при котором цифра 1 встречается ровно 40 раз.

Зная, что в диапазоне от 1 до 10000 цифра 1 появляется 11010 раз, мы можем сделать следующий прогноз: в диапазоне от 1 до 100000 цифра 1 появится около 11010*10=110100 раз. Для получения точного ответа, нам нужно просмотреть диапазон от 1 до 100000 и проверить, сколько раз цифра 1 действительно появляется.

Шаг 5: Рассмотрим числа от 1 до 100000. В этом диапазоне цифра 1 появляется \( 10 \cdot 1010 + 100000 = 101000 \) раз.

Теперь, зная, что в диапазоне от 1 до 100000 цифра 1 появляется 101000 раз, мы можем сделать следующий прогноз: в диапазоне от 1 до 1000000 цифра 1 появится около \( 101000 \cdot 10 = 1010000 \) раз.

Шаг 6: Итак, нам остается рассмотреть числа от 1 до 1000000. В этом диапазоне цифра 1 появляется \( 10 \cdot 101000 + 1000000 = 1010000 \) раз.

Поэтому, наименьшее натуральное число \( n \), при котором цифра 1 встречается ровно 40 раз, будет в диапазоне от 1 до 1000000, и оно будет равно 1000000.

Надеюсь, это решение было понятно и полезно для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!