Какое наименьшее натуральное число a должно быть, чтобы выражение 45n + a*2n делилось на 2021 для любого нечетного

Чтобы найти наименьшее натуральное число \(a\), для которого выражение \(45n + a \cdot 2n\) будет делиться на 2021 для любого нечетного значения \(n\), давайте разберемся с условием задачи.

Мы знаем, что выражение делится на 2021, когда оно делится на все делители 2021. Чтобы решить задачу, нам нужно найти такое наименьшее \(a\), чтобы это выражение делилось на все делители 2021.

2021 можно разложить на простые множители: \(43 \cdot 47\). Таким образом, чтобы выражение \(45n + a \cdot 2n\) делилось на 2021 для любого нечетного \(n\), оно должно делиться на 43 и 47.

Посмотрим на первое слагаемое: \(45n\). Чтобы это слагаемое делилось на оба простых числа, \(n\) должно быть кратно как 43, так и 47, то есть \(n = 43 \cdot 47 \cdot k\), где \(k\) - некое натуральное число.

Теперь давайте рассмотрим второе слагаемое: \(a \cdot 2n\). Чтобы это слагаемое тоже делилось на оба простых числа, \(2n\) должно быть кратно как 43, так и 47.

Давайте разберем это пошагово:

1. \(2n\) должно быть кратно 43. Это значит, что число \(n\) должно быть кратно \(\frac{43}{2}\), но поскольку мы рассматриваем только нечетные значения \(n\), оно не может быть кратным 43. То есть, чтобы \(2n\) делилось на 43, \(n\) должно быть кратно 43.

2. \(2n\) должно быть кратно 47. Это значит, что число \(n\) должно быть кратно \(\frac{47}{2} = 23.5\). Опять же, поскольку мы рассматриваем только нечетные значения \(n\), \(n\) не может быть кратным 47. То есть, чтобы \(2n\) делилось на 47, \(n\) должно быть кратно 47.

Таким образом, чтобы выражение \(45n + a \cdot 2n\) делилось на 2021 для любого нечетного значения \(n\), нам нужно, чтобы \(n\) было кратно как 43, так и 47.

Итак, наименьшим натуральным числом \(a\) будет 1. При таком значении \(a\) для любого нечетного \(n\), выражение \(45n + a \cdot 2n\) будет делиться на 2021.

Проверим на примере: возьмем \(n = 43 \cdot 47 \cdot k + 1\). Тогда:

\(45n + a \cdot 2n = 45(43 \cdot 47 \cdot k + 1) + 1 \cdot 2(43 \cdot 47 \cdot k + 1) = 1935k + 45 + 86k + 2 = 2021k + 47\),

которое является кратным 2021.