Какое наименьшее целое значение А гарантирует истинность выражения (xy < 4A) ∨ (x ≥ 21) ∨ (x < 4y) для всех

Чтобы найти наименьшее целое значение \(A\), гарантирующее истинность данного выражения для всех положительных целых значений \(x\) и \(y\), давайте рассмотрим каждое из условий по отдельности.

1. Условие \(xy < 4A\)
Для того чтобы это условие было истинным для всех положительных целых значений \(x\) и \(y\), необходимо установить ограничение на \(A\). Нам нужно, чтобы \(4A\) было больше любого возможного произведения \(xy\). Поскольку \(x\) и \(y\) могут быть любыми положительными целыми числами, то наименьшее возможное произведение будет, когда \(x = 1\) и \(y = 1\). Таким образом, мы можем записать неравенство:

\[1 < 4A\]

\[A > \frac{1}{4}\]

Таким образом, наименьшее целое значение \(A\), гарантирующее истинность условия \(xy < 4A\), будет равно 1.

2. Условие \(x \geq 21\)
Данное условие будет истинно для всех чисел \(x\), больших или равных 21. Здесь не требуется дополнительных ограничений на \(A\), поэтому мы можем проигнорировать это условие при определении наименьшего целого значения \(A\).

3. Условие \(x < 4y\)
Для того чтобы это условие было истинным для всех положительных целых значений \(x\) и \(y\), необходимо установить ограничение на \(A\). Нам нужно, чтобы \(4y\) было больше любого возможного значения \(x\). Поскольку \(y\) может быть любым положительным целым числом, то наименьшее возможное значение \(x\) будет, когда \(y = 1\). Таким образом, мы можем записать неравенство:

\[x < 4\]

Здесь не требуется дополнительных ограничений на \(A\), поэтому мы можем проигнорировать это условие при определении наименьшего целого значения \(A\).

Таким образом, наименьшее целое значение \(A\), гарантирующее истинность данного выражения для всех положительных целых значений \(x\) и \(y\), будет равно 1.