Какое наименьшее целое число имеет ровно 512 делителей?

Чтобы найти самое маленькое целое число с 512 делителями, мы должны знать, какие числа имеют столько делителей и как увеличивать их количество. Начнем с рассмотрения свойства делителей чисел.

Представим число в виде произведения простых чисел: \[n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}\], где \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) - простые числа, а \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) - их показатели степени.

Количество делителей числа \(n\) можно выразить через его показатели степени. Если показатели степени равны \(b_1, b_2, \ldots, b_k\), тогда количество делителей числа вычисляется по формуле: \[(b_1+1) \cdot (b_2+1) \cdot \ldots \cdot (b_k+1)\]

Теперь давайте найдем число с 512 делителями. Разложим число 512 на простые множители: \[512 = 2^9\]

Теперь вспомним формулу количества делителей и найдем показатели степени для числа с 512 делителями. Для этого мы должны подобрать такие показатели степени \(b_1, b_2, \ldots, b_k\), чтобы выполнялось: \[(b_1+1) \cdot (b_2+1) \cdot \ldots \cdot (b_k+1) = 512\]

Так как 512 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, мы можем представить его в виде:

\[512 = (1+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1)\]

Следовательно, самое маленькое целое число с 512 делителями равно:

\[n = 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^1 = 2^9 = 512\]

Таким образом, наименьшее целое число, имеющее ровно 512 делителей, равно 512.