Какое наибольшее значение принимает функция y=√−2log0,5(5x+1) на интервале [12,6;51]? Что находится под знаком корня?

Чтобы найти наибольшее значение функции \(y = \sqrt{-2\log_{0,5}(5x+1)}\) на заданном интервале \([12,6;51]\), мы должны использовать метод максимума или минимума. Для начала разберемся с выражением, находящимся под знаком корня.

Выражение \(-2\log_{0,5}(5x+1)\) - это логарифм по основанию 0,5, умноженный на -2 и аргументом этого логарифма является \(5x+1\). Логарифм по основанию 0,5 обозначает, что мы должны возвести 0,5 в степень, чтобы получить аргумент. Давайте найдем значение этого логарифма для \(5x+1\).

\[
\log_{0,5}(5x+1) = y
\]

Теперь мы можем переписать это уравнение в эквивалентной форме:

\[
0,5^y = 5x+1
\]

Избавимся от основания и выразим \(x\):

\[
x = \frac{{0,5^y - 1}}{5}
\]

Теперь, когда мы знаем, что находится под знаком корня, нам нужно найти максимальное значение этого выражения на интервале от 12,6 до 51. Для этого найдем критические точки, где производная функции равна нулю или не существует, и сравним значения на этих точках и концах интервала.

Для начала возьмем производную функции \(y = \sqrt{-2\log_{0,5}(5x+1)}\):

\[
y" = \frac{d}{dx}\sqrt{-2\log_{0,5}(5x+1)}
\]

Рассмотрим каждую часть выражения отдельно. Давайте начнем со внутренней функции \(-2\log_{0,5}(5x+1)\):

\[
\frac{d}{dx}(-2\log_{0,5}(5x+1)) = -2 \cdot \frac{d}{dx}\log_{0,5}(5x+1)
\]

Для нахождения производной логарифма по основанию 0,5, мы можем использовать цепное правило:

\[
\frac{d}{dx}\log_{0,5}(u) = \frac{1}{\ln(0,5) \cdot u} \cdot \frac{du}{dx}
\]

Здесь \(u\) - это \(5x+1\). Теперь продолжим наш расчет:

\[
\frac{d}{dx}\log_{0,5}(5x+1) = \frac{1}{\ln(0,5) \cdot (5x+1)} \cdot \frac{d}{dx}(5x+1)
\]

\[
= \frac{1}{\ln(0,5) \cdot (5x+1)} \cdot 5
\]

\[
= \frac{5}{\ln(0,5) \cdot (5x+1)}
\]

Теперь у нас есть производная внутренней функции. Подставим ее обратно в выражение производной функции \(y = \sqrt{-2\log_{0,5}(5x+1)}\):

\[
y" = \frac{5}{\ln(0,5) \cdot (5x+1)} \cdot \frac{1}{2\sqrt{-2\log_{0,5}(5x+1)}}
\]

Сокращаем двойку в знаменателях:

\[
y" = \frac{5}{2\ln(0,5) \cdot (5x+1)\sqrt{-2\log_{0,5}(5x+1)}}
\]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[
\frac{5}{2\ln(0,5) \cdot (5x+1)\sqrt{-2\log_{0,5}(5x+1)}} = 0
\]

Заметим, что числитель не равен нулю, тогда знаменатель должен быть равен нулю. Отсюда:

\[
(5x+1)\sqrt{-2\log_{0,5}(5x+1)} = 0
\]

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. \(5x+1 = 0\): решением этого уравнения является \(x = -\frac{1}{5}\).
2. \(\sqrt{-2\log_{0,5}(5x+1)} = 0\): взятие корня из неположительного числа равно нулю возможно только тогда, когда само число равно нулю. Это означает, что \(-2\log_{0,5}(5x+1) = 0\). Для этого случая найдем \(x\):

\[
-2\log_{0,5}(5x+1) = 0
\]

\[
\log_{0,5}(5x+1) = 0
\]

\[
0,5^0 = 5x+1
\]

\[
1 = 5x+1
\]

\[
5x = 0
\]

\[
x = 0
\]

Теперь, когда мы нашли критические точки \(x = -\frac{1}{5}\) и \(x = 0\), мы можем проверить значения функции на этих точках и на концах интервала \([12,6;51]\).

Подставим \(x = 0\) в исходное выражение и найдем \(y\):

\[
y = \sqrt{-2\log_{0,5}(5\cdot0+1)} = \sqrt{-2\log_{0,5}(1)} = \sqrt{-2\cdot0} = 0
\]

Теперь подставим \(x = -\frac{1}{5}\) и найдем \(y\):

\[
y = \sqrt{-2\log_{0,5}(5\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)+1)} = \sqrt{-2\log_{0,5}(0+1)} = \sqrt{-2\log_{0,5}(1)} = \sqrt{-2\cdot0} = 0
\]

Последним шагом будет вычислить значение функции на концах интервала \([12,6;51]\), то есть на \(x = 12,6\) и \(x = 51\):

Для \(x = 12,6\):

\[
y = \sqrt{-2\log_{0,5}(5\cdot12,6+1)}
\]

Для \(x = 51\):

\[
y = \sqrt{-2\log_{0,5}(5\cdot51+1)}
\]

Теперь сравним все найденные значения \(y\) и найдем наибольшее среди них. Это будет искомое наибольшее значение функции на интервале \([12,6;51]\).