Какое наибольшее значение функции log1/3(x^2+6x+12) можно найти на отрезке [-19, 27]?

Дано уравнение функции: \(f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x^2+6x+12)\) и отрезок \([-19, 27]\).

Для нахождения наибольшего значения функции на данном отрезке, нам необходимо найти точку экстремума функции \(f(x)\) внутри этого отрезка и проверить значение функции в этой точке и на концах отрезка.

Для начала, найдем производную функции \(f"(x)\), чтобы найти точки экстремума. Для логарифмической функции мы воспользуемся правилом дифференцирования для логарифмической функции:

\[
\frac{{d}}{{dx}} \log_{a}(u) = \frac{{1}}{{u \ln(a)}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}
\]

Применим это правило к нашей функции:

\[
f"(x) = \frac{{1}}{{(x^2+6x+12) \ln \left(\frac{{1}}{{3}}\right)}} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x^2+6x+12)
\]

Теперь продифференцируем \(x^2+6x+12\):

\[
\frac{{d}}{{dx}}(x^2+6x+12) = 2x+6
\]

Теперь можем записать нашу производную функцию \(f"(x)\):

\[
f"(x) = \frac{{2x+6}}{{(x^2+6x+12) \ln \left(\frac{{1}}{{3}}\right)}}
\]

Чтобы найти точки экстремума, нам необходимо найти значения \(x\), при которых \(f"(x) = 0\). Решим уравнение \(f"(x) = 0\):

\[
\frac{{2x+6}}{{(x^2+6x+12) \ln \left(\frac{{1}}{{3}}\right)}} = 0
\]

Так как знаменатель в этом уравнении не может быть равен нулю, то уравнение \(2x+6 = 0\) дает нам значение \(x = -3\) как единственное решение.

Теперь мы знаем, что у нас есть одна точка экстремума при \(x = -3\). Теперь осталось проверить значение функции \(f(x)\) в этой точке и на концах отрезка \([-19, 27]\).

Подставим \(x = -3\) в функцию \(f(x)\):

\[
f(-3) = \log_{\frac{1}{3}}((-3)^2+6(-3)+12)
\]

Вычислим значение внутри логарифма:

\[
f(-3) = \log_{\frac{1}{3}}(9-18+12)
\]

\[
f(-3) = \log_{\frac{1}{3}}(3)
\]

Переведем логарифм в экспоненциальную форму:

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^{f(-3)} = 3
\]

Теперь возведем обе части уравнения в степень \(-1\):

\[
3^{-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-f(-3)}
\]

Упростим:

\[
\frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-f(-3)}
\]

Так как \(\frac{1}{3}\) не может быть равно \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-f(-3)}\), то значение функции в точке \(x = -3\) не может быть наибольшим на данном отрезке.

Осталось проверить значение функции на концах отрезка \([-19, 27]\). Подставим \(x = -19\) и \(x = 27\) в функцию \(f(x)\):

\[
f(-19) = \log_{\frac{1}{3}}((-19)^2+6(-19)+12)
\]

\[
f(-19) = \log_{\frac{1}{3}}(361-114+12)
\]

\[
f(-19) = \log_{\frac{1}{3}}(259)
\]

Аналогично для \(x = 27\):

\[
f(27) = \log_{\frac{1}{3}}((27)^2+6(27)+12)
\]

\[
f(27) = \log_{\frac{1}{3}}(729+162+12)
\]

\[
f(27) = \log_{\frac{1}{3}}(903)
\]

Таким образом, наибольшее значение функции \(f(x)\) на отрезке \([-19, 27]\) будет равно \(\log_{\frac{1}{3}}(903)\).