Какое наибольшее четырехзначное натуральное число имеет произведение цифр, являющееся двузначным числом, и произведение

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Пусть искомое число имеет вид ABCD, где A, B, C и D - цифры числа.

2. У нас есть два условия: произведение цифр должно быть двузначным числом, и произведение цифр должно быть равно самому числу.

3. Разложим число на цифры: A - тысячи, B - сотни, C - десятки, D - единицы.

4. Запишем условия в виде уравнений:
- Произведение цифр равно двузначному числу: BC = 10C + D.
- Произведение цифр равно самому числу: ABCD = 1000A + 100B + 10C + D.

5. Подставим BC во второе уравнение: A(10C + D) = 1000A + 100B + 10C + D.

6. Раскроем скобки: 10AC + AD = 1000A + 100B + 10C + D.

7. Упростим уравнение, выразив все переменные на одной стороне: 10AC - 1000A = 100B - 9C - 9D.

8. Поделим уравнение на 9: \(\frac{{10AC - 1000A}}{{9}} = \frac{{100B - 9C - 9D}}{{9}}\).

9. Упростим: \(\frac{{10AC}}{{9}} - \frac{{1000A}}{{9}} = \frac{{100B - 9C - 9D}}{{9}}\).

10. Заметим, что левая часть выражения является целым числом. Поэтому и правая часть должна быть целым числом.

11. Рассмотрим правую часть выражения: \(\frac{{100B - 9C - 9D}}{{9}}\). Чтобы это было целым числом, числа 100B, 9C и 9D должны быть кратны 9.

12. Поскольку B, C и D являются цифрами, они могут принимать только значения от 0 до 9.

13. Рассмотрим возможные значения B:
- Если B = 0, то 100B не будет кратно 9.
- Если B = 1, то 100B не будет кратно 9.
- Если B = 2, то 100B будет кратно 9.
- Если B = 3, то 100B не будет кратно 9.
- ... (подобные рассуждения для оставшихся значений B).

14. Из всех рассмотренных значений B, только при B = 2 число 100B будет кратно 9. Значит, B = 2.

15. Теперь у нас есть уравнение \(\frac{{100B - 9C - 9D}}{{9}} = \frac{{200 - 9C - 9D}}{{9}}\), которое должно быть целым числом.

16. Рассмотрим возможные значения C и D:
- Если C = 0 и D = 1, то \(\frac{{200 - 9 \cdot 0 - 9 \cdot 1}}{{9}} = \frac{{191}}{{9}}\), что не является целым числом.
- Если C = 0 и D = 2, то \(\frac{{200 - 9 \cdot 0 - 9 \cdot 2}}{{9}} = \frac{{182}}{{9}}\), что не является целым числом.
- ... (подобные рассуждения для оставшихся значений C и D).

17. После рассмотрения всех возможных значений C и D, мы видим, что \(\frac{{200 - 9C - 9D}}{{9}}\) не является целым числом.

18. Значит, уравнение \(\frac{{100B - 9C - 9D}}{{9}}\) не будет иметь целочисленного значения с учетом возможных значений C, D и B.

19. Исходя из этого, невозможно найти наибольшее четырехзначное натуральное число, удовлетворяющее условиям задачи.

Итак, ответ на задачу: нет натурального числа, удовлетворяющего условиям задачи.