Какое наибольшее целое значение m, при котором квадратичная форма L =4mx +3x +48x1x2 не обладает определенным знаком?

Чтобы найти наибольшее целое значение \( m \), при котором квадратичная форма \( L = 4mx + 3x + 48x_1x_2 \) не обладает определенным знаком, нам необходимо рассмотреть дискриминант этой формы.

Дискриминант квадратичной формы \( L \) определяется выражением \( D = b^2 - 4ac \), где \( a \), \( b \) и \( c \) - это коэффициенты соответствующей квадратичной формы \( ax^2 + bx + c \).

В данном случае у нас есть форма \( L = 4mx + 3x + 48x_1x_2 \). Чтобы найти значения \( a \), \( b \) и \( c \), мы можем привести форму к стандартному виду.

Вначале, мы можем объединить все члены, содержащие переменную \( x \):

\[ L = (4m + 3)x + 48x_1x_2 \]

Теперь, мы видим, что коэффициент \( a \) равен \( 4m + 3 \), коэффициент \( b \) равен 0 (поскольку нет члена, содержащего только \( x \)), а коэффициент \( c \) равен 48.

Теперь, зная значения \( a \), \( b \) и \( c \), мы можем вычислить дискриминант:

\[ D = (0)^2 - 4(4m + 3)(48x_1x_2) \]

Продолжим дальше, раскрывая скобки:

\[ D = - 4(4m + 3)(48x_1x_2) \]

\[ D = - 768(4m + 3)x_1x_2 \]

Теперь, чтобы найти максимальное целое значение \( m \), при котором форма \( L \) не обладает определенным знаком, нам нужно найти значения \( m \), при которых дискриминант \( D \) неположительный или равен нулю.

Если дискриминант \( D \le 0 \), то квадратичная форма \( L \) не будет обладать определенным знаком.

Так как коэффициент \( x_1 \) и \( x_2 \) не ограничены, то нам нужно рассмотреть только коэффициент \( 4m + 3 \).

Для того чтобы \( D \le 0 \), необходимо, чтобы коэффициент \( 4m + 3 \) был меньше или равен нулю:

\[ 4m + 3 \le 0 \]

Вычитаем 3 из обеих сторон неравенства:

\[ 4m \le -3 \]

Разделим обе стороны неравенства на 4:

\[ m \le -\frac{3}{4} \]

Таким образом, наибольшее целое значение \( m \), при котором квадратичная форма не обладает определенным знаком, равно -1.

Для проверки, подставим значение \( m = -1 \) обратно в исходную форму:

\[ L = 4(-1)x + 3x + 48x_1x_2 \]

\[ L = -4x + 3x + 48x_1x_2 \]

\[ L = -x + 48x_1x_2 \]

Мы видим, что данная форма не обладает определенным знаком, так как коэффициент при \( x \) отрицателен.