Какое наибольшее целое значение m, при котором квадратичная форма L =4mx +3x +48x1x2 не обладает определенным знаком?

Чтобы найти наибольшее целое значение $m$, при котором квадратичная форма $L=4mx+3x+48x_1{x}_2$ не обладает определенным знаком, нам необходимо рассмотреть дискриминант этой формы.

Дискриминант квадратичной формы $L$ определяется выражением $D=b^2-4ac$, где $a$, $b$ и $c$ - это коэффициенты соответствующей квадратичной формы $a{x}^2+bx+c$.

В данном случае у нас есть форма $L=4mx+3x+48x_1{x}_2$. Чтобы найти значения $a$, $b$ и $c$, мы можем привести форму к стандартному виду.

Вначале, мы можем объединить все члены, содержащие переменную $x$:

$$L=(4m+3)x+48x_1{x}_2$$

Теперь, мы видим, что коэффициент $a$ равен $4m+3$, коэффициент $b$ равен 0 (поскольку нет члена, содержащего только $x$), а коэффициент $c$ равен 48.

Теперь, зная значения $a$, $b$ и $c$, мы можем вычислить дискриминант:

$$D=(0{)}^2-4(4m+3)(48x_1{x}_2)$$

Продолжим дальше, раскрывая скобки:

$$D=-4(4m+3)(48x_1{x}_2)$$

$$D=-768(4m+3)x_1{x}_2$$

Теперь, чтобы найти максимальное целое значение $m$, при котором форма $L$ не обладает определенным знаком, нам нужно найти значения $m$, при которых дискриминант $D$ неположительный или равен нулю.

Если дискриминант $D\le 0$, то квадратичная форма $L$ не будет обладать определенным знаком.

Так как коэффициент $x_1$ и $x_2$ не ограничены, то нам нужно рассмотреть только коэффициент $4m+3$.

Для того чтобы $D\le 0$, необходимо, чтобы коэффициент $4m+3$ был меньше или равен нулю:

$$4m+3\le 0$$

Вычитаем 3 из обеих сторон неравенства:

$$4m\le -3$$

Разделим обе стороны неравенства на 4:

$$m\le -\frac{3}{4}$$

Таким образом, наибольшее целое значение $m$, при котором квадратичная форма не обладает определенным знаком, равно -1.

Для проверки, подставим значение $m=-1$ обратно в исходную форму:

$$L=4(-1)x+3x+48x_1{x}_2$$

$$L=-4x+3x+48x_1{x}_2$$

$$L=-x+48x_1{x}_2$$

Мы видим, что данная форма не обладает определенным знаком, так как коэффициент при $x$ отрицателен.