Какое минимальное количество вопросов необходимо задать, чтобы точно определить, какие клетки закрашены в 8×8 клеточном

Чтобы определить, какие клетки закрашены в 8×8 клеточном квадрате, мы можем задать вопросы о состоянии отдельных клеток. В этом случае, чтобы минимизировать количество вопросов, нам нужно задать вопросы таким образом, чтобы каждый вопрос убирал как можно больше возможностей. Вспомним, что в квадрате 5×5 уже закрашено 25 клеток. Этот квадрат занимает центральную часть 8×8 квадрата.

Следовательно, нам необходимо задать вопросы только о 39 клетках, которые находятся вокруг квадрата 5×5.

Чтобы понять, сколько вопросов нам понадобится, рассмотрим каждую клетку с её максимальным количеством возможных вопросов. Так как у нас есть 39 клеток, то у нас будет не более 39 вопросов. Для определенности, назовем эти клетки A1, A2, ..., A39.

Исходя из этого, количество вопросов, которые можно задать, равно:

\[
\begin{align*}
&\text{Для каждой клетки A1, A2, ..., A39 мы можем задать 3 вопроса:} \\
&\text{1) "Закрашена ли клетка A?"} \\
&\text{2) "Закрашена ли клетка В?"} \\
&\text{3) "Закрашена ли клетка С?"} \\
&\text{И так для каждой клетки.} \\
&\text{Следовательно, общее количество вопросов будет равно 3 x 39 = 117.}
\end{align*}
\]

Таким образом, чтобы точно определить, какие клетки закрашены в 8×8 клеточном квадрате, в котором уже закрашены 25 клеток, образующих квадрат 5×5, нам понадобится задать не менее 117 вопросов.

Для доказательства, что количество вопросов, которые мы найдем, является минимальным, рассмотрим ситуацию, где задано меньшее количество вопросов и покажем, что в этом случае мы не сможем однозначно определить, какие клетки закрашены.

Предположим, мы задали только 116 вопросов. В этом случае у нас остается одна клетка без вопроса. Назовем эту клетку B. Теперь рассмотрим ситуацию, где клетка B закрашена. Мы не можем получить информацию о ее состоянии, так как наша последняя окружающая вопросами клетка А39 уже не может быть использована. Таким образом, мы не можем однозначно определить, закрашена ли клетка B, и наше предположение о 116 вопросах было неверным. Это доказывает, что нам действительно потребуется как минимум 117 вопросов.

Примеры вопросов, которые можно задать:

1) "Закрашена ли клетка слева от клетки A1?"
2) "Закрашена ли клетка сверху от клетки A1?"
3) "Закрашена ли клетка справа от клетки A1?"
4) ...
5) "Закрашена ли клетка слева от клетки A39?"
6) "Закрашена ли клетка сверху от клетки A39?"
7) "Закрашена ли клетка справа от клетки A39?"
8) ... и так далее, пока не закончатся все 39 клеток.

Таким образом, мы можем задать 117 таких вопросов для определения, какие клетки закрашены в 8×8 клеточном квадрате.