Какое минимальное количество ручек нужно вытащить из шляпы, чтобы среди них обязательно были две одного цвета?

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать принцип ящика-шаров, который является фундаментальным принципом комбинаторики. Давайте рассмотрим его применение.

Пусть у нас есть шляпа, в которой находятся ручки разных цветов. Нам нужно вытащить минимальное количество ручек так, чтобы среди них обязательно были две одного цвета.

Мы можем анализировать эту задачу, рассматривая количество разных цветов ручек, которые у нас есть в шляпе. Начнем с самого простого случая, когда у нас есть только два цвета ручек.

1. Если в шляпе только две ручки разных цветов, то нам достаточно вытащить 2 ручки, чтобы гарантированно получить две одного цвета.

Теперь рассмотрим случай, когда в шляпе больше двух цветов ручек.

2. Если в шляпе 3 ручки разных цветов, то нам будет достаточно вытащить 3 ручки из шляпы, чтобы гарантированно получить две одного цвета. Это обусловлено тем, что по принципу ящика-шаров, если у нас есть 3 цвета и мы выбрали 3 ручки, то в любом случае среди них будет две одного цвета.

3. Теперь давайте рассмотрим случай, когда в шляпе 4 ручки разных цветов. В таком случае также нам понадобится вытащить 3 ручки, чтобы гарантированно получить две одного цвета. Допустим, мы вытащили 3 ручки из шляпы и все они оказались разных цветов. Тогда при последующем вытаскивании ручек обязательно попадется ручка одного из цветов, которая совпадает с уже вытащенной ручкой, и мы получим две ручки одного цвета.

Из этих примеров мы можем сделать вывод, что для того, чтобы гарантированно получить две ручки одного цвета, независимо от количества цветов ручек в шляпе, нам всегда понадобится вытащить минимум 3 ручки.

Таким образом, минимальное количество ручек, которое нужно вытащить из шляпы, чтобы среди них были две одного цвета, составляет 3.