Какое максимальное значение у функции y=х^3+6^2+9х+11 на интервале [-5;-2]?

Хорошо, посмотрим на задачу.
У нас дана функция \( y = x^3 + 6x^2 + 9x + 11 \), и мы должны найти максимальное значение этой функции на интервале \([-5, -2]\).

Для начала, давайте построим график этой функции, чтобы увидеть, как она выглядит на этом интервале.

\[
\begin{align*}
y &= x^3 + 6x^2 + 9x + 11 \\
\end{align*}
\]

Чтобы построить график, мы можем поочередно подставить значения из интервала \([-5, -2]\) в наше уравнение и получить соответствующие значения \(y\). Но чтобы сделать это проще, давайте начнем сначала и найдем экстремумы функции.

Для этого возьмем производную нашей функции, чтобы найти точку, где ее график будет иметь экстремум.

\[
\begin{align*}
y" &= 3x^2 + 12x + 9 \\
\end{align*}
\]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

\[
\begin{align*}
3x^2 + 12x + 9 &= 0 \\
\end{align*}
\]

Мы можем разделить каждый член на 3 для упрощения:

\[
\begin{align*}
x^2 + 4x + 3 &= 0 \\
\end{align*}
\]

Теперь факторизуем это уравнение:

\[
\begin{align*}
(x + 1)(x + 3) &= 0 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = -1\) и \(x = -3\).

Теперь нам нужно проверить значения функции в этих точках, а также на границах интервала \([-5, -2]\), чтобы найти максимальное значение.

Давайте подставим каждое из этих значений в нашу исходную функцию и найдем соответствующие значения \(y\):

Для \(x = -5\):

\[
\begin{align*}
y &= (-5)^3 + 6(-5)^2 + 9(-5) + 11 \\
y &= -125 + 150 - 45 + 11 \\
y &= -9 \\
\end{align*}
\]

Для \(x = -3\):

\[
\begin{align*}
y &= (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) + 11 \\
y &= -27 + 54 - 27 + 11 \\
y &= 11 \\
\end{align*}
\]

Для \(x = -2\):

\[
\begin{align*}
y &= (-2)^3 + 6(-2)^2 + 9(-2) + 11 \\
y &= -8 + 24 - 18 + 11 \\
y &= 9 \\
\end{align*}
\]

Для \(x = -1\):

\[
\begin{align*}
y &= (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) + 11 \\
y &= -1 + 6 - 9 + 11 \\
y &= 7 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, мы видим, что наша функция достигает максимального значения \(y = 11\) при \(x = -3\). Это означает, что на интервале \([-5, -2]\) максимальное значение функции равно 11.

Я надеюсь, что это решение помогло вам понять, как найти максимальное значение функции на заданном интервале.