Какое максимальное значение функции y=4√2cos x + 4x-π-1 достигается на отрезке

Чтобы определить максимальное значение функции \(y = 4\sqrt{2}\cos x + 4x - \pi - 1\) на заданном отрезке, нам понадобится проанализировать поведение функции на этом отрезке. Давайте разобьем это решение на несколько шагов.

Шаг 1: Найдите критические точки функции. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует. Чтобы найти эти точки, возьмем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -4\sqrt{2}\sin x + 4
\]

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[
-4\sqrt{2}\sin x + 4 = 0
\]

Выразим \(\sin x\):

\[
\sin x = \frac{4}{{4\sqrt{2}}} = \frac{1}{{\sqrt{2}}}
\]

Так как значения синуса равны \(\frac{1}{{2}}\), когда \(x = \frac{\pi}{{4}}\) и \(x = \frac{{3\pi}}{{4}}\), то имеем две критические точки \(x_1 = \frac{\pi}{{4}}\) и \(x_2 = \frac{{3\pi}}{{4}}\).

Шаг 2: Определите значения функции в критических точках и на концах отрезка. Найдите значение функции \(y\) при \(x_1\), \(x_2\) и на концах отрезка. Для удобства будем использовать значение \(\pi = 3.14159\):

\[
\begin{align*}
y_1 &= 4\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 4\left(\frac{\pi}{4}\right) - \pi - 1 \\
y_2 &= 4\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + 4\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \pi - 1 \\
y_3 &= 4\sqrt{2}\cos(0) + 4(0) - \pi - 1 \\
y_4 &= 4\sqrt{2}\cos(\pi) + 4(\pi) - \pi - 1
\end{align*}
\]

Вычислим значения функции:

\[
\begin{align*}
y_1 &\approx 0.656 \\
y_2 &\approx -2.828 \\
y_3 &\approx -\pi - 1 \\
y_4 &\approx -5.141
\end{align*}
\]

Шаг 3: Определите максимальное значение. Сравните найденные значения \(y\) и выберите наибольшее из них. Из предыдущего шага видно, что максимальное значение находится в точке \(x_1\) (или \(x_2\)) и составляет примерно \(0.656\).

Таким образом, максимальное значение функции \(y = 4\sqrt{2}\cos x + 4x - \pi - 1\) на заданном отрезке достигается при \(x = \frac{\pi}{4}\) (или \(x = \frac{3\pi}{4}\)) и равно примерно \(0.656\).