Какое максимальное значение функции y=15+3x-2x^3/2 достигается на данном отрезке?

Чтобы найти максимальное значение функции \(y = 15 + 3x - \frac{2x^3}{2}\) на данном отрезке, нам нужно сначала найти критические точки и экстремумы этой функции. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдите производную функции \(y\) по переменной \(x\). Назовем эту производную \(y"\).

\[
y" = \frac{d}{dx}(15 + 3x - \frac{2x^3}{2})
\]

2. Решите уравнение \(y" = 0\) для определения критических точек функции \(y\). Обратите внимание, что в качестве отрезка мы будем использовать весь возможный диапазон значений \(x\), если не указано иное.

3. Определите, являются ли найденные критические точки локальными максимумами или минимумами с помощью второй производной. Для этого найдите вторую производную функции \(y\) по переменной \(x\) и обозначьте ее \(y""\).

\[
y"" = \frac{d^2}{dx^2}(15 + 3x - \frac{2x^3}{2})
\]

4. Подставьте значения критических точек, найденных на шаге 2, во вторую производную \(y""\). Если \(y"" > 0\), то критическая точка будет локальным минимумом, если \(y"" < 0\), то критическая точка будет локальным максимумом.

5. Найдите значения функции \(y\) в критических точках и на концах заданного отрезка.

6. Выберите наибольшее значение из множества значений, найденных на шаге 5. Это будет максимальным значением функции \(y\) на данном отрезке.

Давайте выполним эти шаги более подробно:

1. Найдем производную функции \(y\):

\[
y" = \frac{d}{dx}(15 + 3x - \frac{2x^3}{2}) = 3 - 3x^2
\]

2. Решим уравнение \(y" = 0\):

\[
3 - 3x^2 = 0
\]

Для решения этого уравнения приведем его к виду:

\[
-3x^2 + 3 = 0
\]

Затем факторизуем его:

\[
3(-x^2 + 1) = 0
\]

\[
(x - 1)(x + 1) = 0
\]

Таким образом, получаем две критические точки: \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\).

3. Найдем вторую производную \(y""\):

\[
y"" = \frac{d^2}{dx^2}(15 + 3x - \frac{2x^3}{2}) = -6x
\]

4. Подставим значения критических точек во вторую производную:

При \(x = -1\) получаем \(y"" = -6(-1) = 6\), а при \(x = 1\) получаем \(y"" = -6(1) = -6\).

Таким образом, точка \(x = -1\) является локальным минимумом, а точка \(x = 1\) является локальным максимумом.

5. Найдем значения функции \(y\) в критических точках и на концах заданного отрезка.

Для \(x = -1\), подставим в исходную функцию:

\[
y = 15 + 3(-1) - \frac{2(-1)^3}{2} = 15 - 3 + 1 = 13
\]

Для \(x = 1\), подставим в исходную функцию:

\[
y = 15 + 3(1) - \frac{2(1)^3}{2} = 15 + 3 - 1 = 17
\]

Также найдем значения функции на концах заданного отрезка:

При \(x\) стремящемся к бесконечности, функция будет стремиться к бесконечности.

6. Выберем наибольшее значение из множества значений: 13 и 17. Таким образом, максимальное значение функции \(y\) на данном отрезке равно 17.

Итак, максимальное значение функции \(y = 15 + 3x - \frac{2x^3}{2}\) достигается на данном отрезке и равно 17.