Какое максимальное значение достигает функция y = 8cosx + 9x - 11 на интервале (-3pi/2, pi/2)?

Чтобы найти максимальное значение функции \(y = 8\cos(x) + 9x - 11\) на интервале \((-3\pi/2, \pi/2)\), нам необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке:

\[y"(x) = \left(8\cos(x) + 9x - 11\right)" = -8\sin(x) + 9\]

Шаг 2: Решим уравнение производной \(y"(x) = 0\), чтобы найти критические точки функции:

\[-8\sin(x) + 9 = 0\]

Решим это уравнение:

\[-8\sin(x) = -9\]
\[\sin(x) = \frac{9}{8}\]

Шаг 3: Найдем значения \(\sin(x) = \frac{9}{8}\) на интервале \((-3\pi/2, \pi/2)\). Заметим, что \(\sin(x)\) принимает значения в интервале \([-1, 1]\). Значит, уравнение \(\sin(x) = \frac{9}{8}\) не имеет решений на данном интервале.

Шаг 4: Теперь проверим значения \(\sin(x)\) на концах интервала \((-3\pi/2, \pi/2)\). Подставим значения \(x = -3\pi/2\) и \(x = \pi/2\) в функцию \(y\) и найдем соответствующие значения:

\[y(-3\pi/2) = 8\cos(-3\pi/2) + 9(-3\pi/2) - 11\]
\[y(-3\pi/2) = -8 - \frac{27\pi}{2} - 11\]

\[y(\pi/2) = 8\cos(\pi/2) + 9(\pi/2) - 11\]
\[y(\pi/2) = 8 + \frac{9\pi}{2} - 11\]

Подсчитаем численные значения:

\[y(-3\pi/2) \approx -8 - \frac{27\pi}{2} - 11 \approx -\frac{27}{2}\pi - 19\]
\[y(\pi/2) \approx 8 + \frac{9\pi}{2} - 11 \approx \frac{9\pi}{2} - 3\]

Шаг 5: Сравним значения \(y(-3\pi/2)\), \(y(\pi/2)\) и значене функции на возможных критических точках. В данном случае у нас нет критических точек, поэтому мы рассматриваем только \(y(-3\pi/2)\) и \(y(\pi/2)\).

Сравним \(-\frac{27}{2}\pi - 19\) и \(\frac{9\pi}{2} - 3\):

\(-\frac{27}{2}\pi - 19\) является наименьшим значением функции, а \(\frac{9\pi}{2} - 3\) является наибольшим значением функции.

Таким образом, функция \(y = 8\cos(x) + 9x - 11\) достигает максимального значения \(\frac{9\pi}{2} - 3\) на интервале \((-3\pi/2, \pi/2)\).