Какое максимальное количество прямоугольников с целочисленными сторонами можно получить, разрезая линии сетки квадрата?

Эта задача относится к комбинаторике и математике. Для того чтобы понять, сколько прямоугольников можно получить, разрезая линии сетки квадрата, мы должны применить некоторую систематическую методику.

Давайте начнем с простого случая: одна линия сетки. Представьте себе, что у нас есть квадратная сетка из \(m\) горизонтальных линий и \(n\) вертикальных линий. Когда мы разрезаем одну горизонтальную или вертикальную линию, мы получаем новый прямоугольник. Если мы разрежем горизонтальную линию между двумя соседними вертикальными линиями, мы получим \(n\) прямоугольников. Аналогично, если мы разрежем вертикальную линию между двумя соседними горизонтальными линиями, мы получим \(m\) прямоугольников. Если у нас есть \(m\) горизонтальных линий и \(n\) вертикальных линий, общее количество прямоугольников будет равно \(m \cdot n\).

Теперь перейдем к более сложному случаю. Предположим, что у нас есть \(m\) горизонтальных и \(n\) вертикальных линий. Если мы выберем две горизонтальные линии и две вертикальные линии, мы можем создать прямоугольник размером \(2 \times 2\). Таким образом, число прямоугольников размером \(2 \times 2\) будет равно \((m-1) \cdot (n-1)\).

Аналогичным образом, мы можем продолжать увеличивать размеры прямоугольников. Чтобы определить количество прямоугольников размером \(k \times l\), где \(k\) - количество горизонтальных линий, а \(l\) - количество вертикальных линий, мы можем рассчитать \((m-k+1) \cdot (n-l+1)\).

Чтобы найти общее количество прямоугольников, мы должны просуммировать все прямоугольники разных размеров. Таким образом, общее количество прямоугольников будет выглядеть следующим образом:

\[N = \sum_{k=1}^{m} \sum_{l=1}^{n} (m-k+1) \cdot (n-l+1)\]

Однако, чтобы упростить вычисления, можно заметить, что данная сумма равна:

\[N = \frac{m \cdot (m+1) \cdot n \cdot (n+1)}{4}\]

Таким образом, прямой ответ на задачу состоит в том, что максимальное количество прямоугольников с целочисленными сторонами, которое можно получить, разрезая линии сетки квадрата, равно \(\frac{m \cdot (m+1) \cdot n \cdot (n+1)}{4}\).