Какое максимальное количество делителей может иметь квадрат числа с 4040 различными делителями (включая единицу и само

Чтобы решить эту задачу, мы должны изучить свойства квадрата числа и его делителей.

Пусть число \(N\) имеет \(\textit{d}\) делителей. Мы можем выразить \(N\) как произведение его простых множителей в виде:

\[ N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_k^{a_k} \]

где \(p_i\) - простые числа, а \(a_i\) - степени, с которыми они появляются в разложении числа \(N\).

Если квадрат числа \(N\) имеет \(4040\) делителей, то у него должно быть разложение в виде:

\[ N^2 = p_1^{2a_1} \cdot p_2^{2a_2} \cdot ... \cdot p_k^{2a_k} \]

Теперь мы должны найти максимальное количество делителей для \(N^2\).

Количество делителей числа можно найти, рассмотрев степени простых множителей в его разложении. Поэтому количество делителей квадрата числа \(N\) равно:

\[ \textit{num\_of\_divisors} = (2a_1+1) \cdot (2a_2+1) \cdot ... \cdot (2a_k+1) \]

Мы хотим найти максимальное значение \(\textit{num\_of\_divisors}\) при условии, что \(\textit{num\_of\_divisors}\) равно \(4040\).

Давайте решим это уравнение.

\(4040\) является произведением простых чисел: \(4040 = 2^3 \cdot 5 \cdot 101\).

Чтобы максимизировать количество делителей, мы должны подобрать максимальные значения степеней простых чисел в разложении \(N^2\).

Посмотрим на каждый простой множитель по отдельности:
- Для \(2^3\) мы должны найти такие натуральные числа \(a\), при которых \(2a+1 = 8\). Единственный вариант - \(a = 3\).
- Для \(5\) мы должны найти такие натуральные числа \(a\), при которых \(2a+1 = 5\). Единственный вариант - \(a = 2\).
- Для \(101\) мы должны найти такие натуральные числа \(a\), при которых \(2a+1 = 101\). В этом случае \(a = 50\).

Таким образом, разложение \(N^2\) будет иметь вид:

\[ N^2 = 2^{2 \cdot 3} \cdot 5^{2 \cdot 2} \cdot 101^{2 \cdot 50} \]

Следовательно, максимальное количество делителей будет:

\[ \textit{num\_of\_divisors} = (2 \cdot 3 + 1) \cdot (2 \cdot 2 + 1) \cdot (2 \cdot 50 + 1) = 7 \cdot 5 \cdot 101 = 3535 \]

Таким образом, максимальное количество делителей квадрата числа с \(4040\) различными делителями равно \(3535\).