Какое максимальное количество цветов может быть покрашено на шариках, если среди любых 6 подряд идущих шариков есть

Данная задача основана на принципе Дирихлеа, который формулируется следующим образом: если на \(n\) объектах разбросать \(m\) предметов, то хотя бы один из объектов будет содержать не менее \(\lceil \frac{m}{n} \rceil\) предметов.

Давайте рассмотрим случай, когда на каждом из 6 шариков покрашено по разному. В таком случае, мы покрасили бы 6 цветов. Однако, условие задачи гласит, что среди любых 6 подряд идущих шариков не может быть более 3 различных цветов. Это означает, что если мы выберем 6 шариков подряд, то один из цветов будет повторяться не менее, чем 3 раза.

Давайте предположим, что на первых 6 шариках мы покрасили 3 различных цвета. В таком случае, наибольшее количество шариков, которое мы можем покрасить, равно 9. Если мы добавим еще 1 шарик к уже имеющимся 6, то теперь у нас будет сороковой шарик, и снова мы можем раскрасить наибольшее количество шариков, не противоречащее условию задачи.

Таким образом, мы можем продолжать добавлять по одному шарику и покрасить их, не нарушая условие, пока не достигнем 10 шариков. Получается, что наибольшее количество покрашенных шариков, удовлетворяющих условию задачи, равно 10.

Можно заметить, что возможности покраски ограничены, и мы не можем покрасить больше, чем 10 шариков при соблюдении условия задачи. Таким образом, максимальное количество цветов, которое может быть покрашено на шариках при условии, что среди любых 6 подряд идущих шариков есть не более 3 различных цветов, равно 10.