Какое максимальное целое число может быть корнем уравнения а2x2+ax+1-7а2=0, если оба корня этого уравнения являются

Рассмотрим данное квадратное уравнение: \(a^2x^2 + ax + 1 - 7a^2 = 0\).

Чтобы найти максимальное целое число, которое может быть корнем этого уравнения, мы должны найти целочисленные корни этого уравнения и проверить, какое из них является максимальным.

Для начала, запишем данное уравнение в стандартной форме:

\(a^2x^2 + ax - 7a^2 + 1 = 0\).

При решении квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения. В нашем случае:

\(a^2 = a^2\),
\(b = a\),
\(c = -7a^2 + 1\).

Вычислим дискриминант и приравняем его к нулю, чтобы найти условия на целочисленные корни:

\(D = a^2 - 4(a^2)(-7a^2 + 1) = a^2 - 28a^4 + 4a^2 = -28a^4 + 5a^2\).

Теперь мы должны решить уравнение \(D = 0\) и найти значения а, при которых дискриминант равен нулю:

\(-28a^4 + 5a^2 = 0\).

Вынесем общий множитель: \(a^2(-28a^2 + 5) = 0\).

Первый тривиальный корень - а = 0.

Для второго корня решим квадратное уравнение \(-28a^2 + 5 = 0\):

\(28a^2 = 5\),
\(a^2 = \frac{5}{28}\).

Так как мы ищем целочисленные корни, возможные значения а равны \(a = \pm \sqrt{\frac{5}{28}}\).

Поскольку нам требуется, чтобы корни были отличны от нуля, возьмем только положительное значение \(\sqrt{\frac{5}{28}}\).

Осталось проверить, какое целое число является максимальным корнем при данном значении а.

Учитывая, что \(a = \sqrt{\frac{5}{28}}\), подставим это значение в исходное уравнение и найдем значение x:

\(a^2 x^2 + ax + 1 - 7a^2 = 0\).

Подставляем a в уравнение:

\(\left(\sqrt{\frac{5}{28}}\right)^2 x^2 + \left(\sqrt{\frac{5}{28}}\right)x + 1 - 7\left(\sqrt{\frac{5}{28}}\right)^2 = 0\).

Упростим уравнение:

\(\frac{5x^2}{28} + \frac{5x}{28} + 1 - \frac{35}{28} = 0\).

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

\(\frac{5x^2 + 5x - 30}{28} = 0\).

Домножаем оба члена уравнения на 28:

\(5x^2 + 5x - 30 = 0\).

Факторизуем уравнение:

\((x - 3)(5x + 10) = 0\).

Находим корни уравнения:

\(x_1 = 3\), \(x_2 = -2\).

Мы видим, что при \(a = \sqrt{\frac{5}{28}}\) у нас есть два целочисленных корня: x1 = 3 и x2 = -2.

Таким образом, максимальное целое число, которое может быть корнем этого уравнения, равно 3.