Какое количество стеклянных декоративных шариков есть в общей сложности, если известно, что шариков меньше

Для решения данной задачи нам понадобится информация о том, сколько шариков остается при упаковке, а также о количестве шариков в одном пакетике.

Допустим, в одном пакетике упаковывают \(n\) шариков. Значит, остаток шариков при упаковке будет равен остатку от деления общего количества шариков на \(n\).

Теперь давайте проведем пробное решение, чтобы найти количество шариков в общей сложности. Предположим, что у нас есть 99 шариков, и при упаковке по 7 шариков в пакетик остается 6 шариков. Тогда имеем следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
99 \equiv 6 \pmod{7}\\
x \equiv 0 \pmod{7}
\end{cases}
\]

Здесь первое уравнение говорит нам, что 99 сравнимо с 6 по модулю 7, то есть имеет остаток 6 при делении на 7. Второе уравнение указывает на то, что общее количество шариков \(x\) должно быть сравнимо с 0 по модулю 7, то есть должно делиться на 7 без остатка.

Теперь найдем все возможные значения для общего количества шариков \(x\) от 1 до 99, удовлетворяющие системе уравнений. Мы знаем, что остаток от деления на 7 может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Таким образом, мы можем перебрать все эти остатки и найти соответствующие значения \(x\).

\[
\begin{align*}
&\text{Остаток 0: } 0, 7, 14, \ldots, 98\\
&\text{Остаток 1: } 1, 8, 15, \ldots, 99\\
&\text{Остаток 2: } 2, 9, 16, \ldots\\
&\text{Остаток 3: } 3, 10, 17, \ldots\\
&\text{Остаток 4: } 4, 11, 18, \ldots\\
&\text{Остаток 5: } 5, 12, 19, \ldots\\
&\text{Остаток 6: } 6, 13, 20, \ldots, 97
\end{align*}
\]

Таким образом, у нас есть семь возможных групп значений \(x\) в пределах от 1 до 99, каждая из которых образует арифметическую прогрессию. Чтобы найти общее количество шариков во всех этих прогрессиях, мы можем суммировать числа в каждой прогрессии, затем сложить полученные суммы.

Например, рассмотрим прогрессию значений \(x\) с остатком 0: 0, 7, 14, 21, ..., 98.
Чтобы найти сумму этой прогрессии, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

\[
S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
\]

где \(S\) - сумма, \(n\) - количество элементов в прогрессии, \(a_1\) - первый элемент, \(a_n\) - последний элемент.

В данном случае первый элемент равен 0, а последний элемент равен 98. Количество элементов в прогрессии можно найти, разделив разницу между последним и первым элементами на шаг прогрессии (7):

\(n = \frac{98 - 0}{7} + 1 = 15\)

Подставим значения в формулу:

\(S = \frac{15}{2}(0 + 98) = 735\)

Таким же образом мы можем найти суммы для остальных прогрессий:

\[
\begin{align*}
&\text{Остаток 0: } S_0 = \frac{15}{2}(0 + 98) = 735\\
&\text{Остаток 1: } S_1 = \frac{14}{2}(1 + 99) = 700\\
&\text{Остаток 2: } S_2 = \frac{14}{2}(2 + 98) = 686\\
&\text{Остаток 3: } S_3 = \frac{14}{2}(3 + 97) = 672\\
&\text{Остаток 4: } S_4 = \frac{14}{2}(4 + 96) = 658\\
&\text{Остаток 5: } S_5 = \frac{13}{2}(5 + 97) = 650\\
&\text{Остаток 6: } S_6 = \frac{14}{2}(6 + 97) = 679
\end{align*}
\]

Наконец, чтобы найти общее количество стеклянных декоративных шариков в общей сложности, нам просто нужно сложить все полученные суммы:

\(Общее\,количество\,шариков = S_0 + S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6\)

\(Общее\,количество\,шариков = 735 + 700 + 686 + 672 + 658 + 650 + 679 = 4380\)

Таким образом, в общей сложности имеется 4380 стеклянных декоративных шариков.