Какое количество различных путей может выбрать Дима, чтобы попасть в гости к Кате в городе, где все образуют квадраты

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, каким образом Дима может перемещаться по квадратной сетке и определить количество различных путей до города Кати.

В данной задаче, если мы представим сетку в виде квадрата с равными сторонами, то каждая клетка будет представлять собой вершину квадрата. Дима может двигаться только вправо или вверх, поэтому он может перемещаться только по ребрам квадрата.

Для определения количества путей, которые может выбрать Дима, мы можем использовать комбинаторику. Представим, что у нас есть прямоугольная сетка размером \(n \times m\). Чтобы достичь точки, находящейся в последнем столбце сетки (колонка \(m\)), Диме необходимо сделать \(m-1\) шаг только вправо. Аналогично, для достижения точки в последней строке сетки (строка \(n\)), Диме придется сделать \(n-1\) шаг вверх.

Таким образом, чтобы попасть в город Кати, Диме нужно сделать \((m-1) + (n-1)\) шагов. Мы можем записать это как \((m+n-2)\).

Количество различных путей, которое может выбрать Дима, равно количеству комбинаций его шагов вправо и вверх. Мы можем применить формулу биномиальных коэффициентов для этого. Биномиальный коэффициент \(C(n, k)\) определяется следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), а \(k!\) и \((n-k)!\) обозначают факториалы чисел \(k\) и \(n-k\) соответственно.

В нашем случае, количество путей, которое может выбрать Дима для достижения города Кати, равно \(C((m+n-2), (m-1))\), так как он сделает \((m-1)\) шаг вправо и \((n-1)\) шаг вверх.

Теперь, чтобы упростить эту формулу и получить численное значение количества путей, мы можем вычислить факториалы и подставить значения в формулу.

Например, если размеры сетки равны \(n = 3\) и \(m = 4\), мы можем вычислить:

\[C((3+4-2), (4-1)) = C(5, 3)\]

\[C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3! \cdot (5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10\]

Таким образом, Дима может выбрать 10 различных путей, чтобы попасть в гости к Кате в данном случае.

На практике, чтобы найти количество путей для заданных значений \(n\) и \(m\), мы можем использовать произвольный язык программирования, чтобы вычислить биномиальный коэффициент. Также существуют специальные формулы и методы, которые позволяют быстро находить количество путей на больших сетках без необходимости вычислять факториалы.