Какое количество одинаковых ладей может быть размещено на «треугольной» доске так, чтобы они не били друг друга?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся, что такое "треугольная" доска. Треугольная доска - это шахматная доска, в которой каждая строка имеет количество клеток, равное номеру строки. То есть первая строка имеет 1 клетку, вторая - 2 клетки и так далее.

Давайте представим, что у нас есть треугольная доска \(n \times n\), где \(n\) - количество строк и столбцов в доске. Мы должны разместить \(k\) ладей на этой доске так, чтобы они не били друг друга. Ладья может бить другую ладью, если они находятся на одной горизонтали или на одной вертикали.

Теперь, чтобы определить, сколько ладей мы можем разместить на этой доске без того, чтобы они били друг друга, рассмотрим следующие случаи:

1. Когда \( k = 1 \): Если у нас есть только одна ладья, то мы можем разместить ее в любой клетке доски, и она не будет бить никого.

2. Когда \( k = n \): Если количество ладей равно количеству строк или столбцов в доске, то мы можем разместить по одной ладье в каждой строке, и они не будут бить друг друга.

3. Когда \( k > n \): Если количество ладей больше, чем количество строк или столбцов в доске, то невозможно разместить все ладьи так, чтобы они не били друг друга. Давайте рассмотрим это на примере.

Предположим, у нас есть треугольная доска \(3 \times 3\) и мы хотим разместить 4 ладьи. Пусть ладьи обозначены цифрами от 1 до 4 и их позиции на доске следующие:

\[
\begin{array}{ c c c }
1 & 2 & 3 \\
4 & & \\
& &
\end{array}
\]

Можно видеть, что ладьи 1 и 3 находятся на одной горизонтали и ладьи 2 и 4 находятся на одной вертикали. Это значит, что они могут бить друг друга. Поэтому мы не можем разместить 4 ладьи без того, чтобы они не били друг друга на доске \(3 \times 3\).

Таким образом, общий ответ на задачу будет зависеть от количества строк и столбцов в треугольной доске и количество ладей, которые хотим разместить. Если \( k \leq n \), то мы можем разместить \( k \) ладей без того, чтобы они били друг друга. Если \( k > n \), то невозможно разместить все ладьи без коллизий, и нужно будет искать другое решение или доску большего размера.