Какое количество энергии выделится в проволочном кольце диаметром 5 см, когда магнитная индукция нарастает линейно

Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон Фарадея, который гласит, что электродвижущая сила (ЭДС) индукции \( \mathcal{E} \) в контуре равна скорости изменения магнитного потока через этот контур.

Сначала вычислим изменение магнитного потока \( \Phi \) через проволочное кольцо. Магнитный поток через площадку, ограниченную проволочным кольцом, можно найти, используя следующую формулу:

\[ \Phi = B \cdot A \]

где \( B \) - магнитная индукция, а \( A \) - площадь площадки, ограниченной проволочным кольцом.

Радиус проволочного кольца равен половине его диаметра, поэтому радиус \( r \) равен 2,5 см или 0,025 м. Тогда площадь площадки, ограниченной кольцом, можно найти по формуле:

\[ A = \pi \cdot r^2 \]

Подставив значения в формулу, получим:

\[ A = \pi \cdot (0,025)^2 \approx 0,0019635 \, м^2 \]

Теперь мы можем найти изменение магнитного потока \( \Delta \Phi \), которое равно разности между конечным и начальным магнитными потоками:

\[ \Delta \Phi = B_{конечное} \cdot A - B_{начальное} \cdot A \]

Учитывая, что магнитная индукция нарастает линейно с 0 до 0,02 Тл за 15 с, мы можем записать:

\[ \Delta \Phi = (0,02 \, Тл) \cdot A - (0 \, Тл) \cdot A = (0,02 \, Тл) \cdot A \]

Подставив значение площади \( A \), получим:

\[ \Delta \Phi = (0,02 \, Тл) \cdot 0,0019635 \, м^2 \approx 3,927 \times 10^{-5} \, Вб \]

Изменение магнитного потока \( \Delta \Phi \) также равно произведению ЭДС индукции \( \mathcal{E} \) на количество затраченной энергии \( \Delta W \):

\[ \Delta W = \mathcal{E} \cdot \Delta \Phi \]

Теперь мы можем найти количество энергии, выделенное в проволочном кольце. Для этого нам нужно найти ЭДС индукции \( \mathcal{E} \).

ЭДС индукции \( \mathcal{E} \) можно найти, используя следующую формулу:

\[ \mathcal{E} = -\frac{{d\Phi}}{{dt}} \]

где \( \frac{{d\Phi}}{{dt}} \) обозначает производную магнитного потока по времени.

Поскольку магнитная индукция изменяется линейно с течением времени, мы можем записать:

\[ \frac{{dB}}{{dt}} = \frac{{B_{конечное} - B_{начальное}}}{{t_{конечное} - t_{начальное}}} \]

Подставляя значения, получаем:

\[ \frac{{dB}}{{dt}} = \frac{{0,02 \, Тл - 0 \, Тл}}{{15 \, с}} = \frac{{0,02}}{{15}} \, Тл/с \]

Теперь подставим это значение в формулу для ЭДС индукции:

\[ \mathcal{E} = -\frac{{d\Phi}}{{dt}} = -\frac{{0,02 \cdot 0,0019635}}{{15}} = -2,6167 \times 10^{-6} \, В \]

Теперь мы можем найти количество энергии, выделенное в проволочном кольце, умножив ЭДС индукции на изменение магнитного потока:

\[ \Delta W = \mathcal{E} \cdot \Delta \Phi = (-2,6167 \times 10^{-6} \, В) \cdot (3,927 \times 10^{-5} \, Вб) \approx -1,027 \times 10^{-10} \, Дж \]

В данной задаче количество энергии, выделенное в проволочном кольце, составляет примерно -1,027 x 10^{-10} Дж. Знак "-" говорит о том, что энергия выделяется в виде тепла.