Какое из следующих утверждений верно для функции z=xy^2+x? A) ∂z/∂y-2xy=0; B) ∂z/∂y-x=y; C) ∂z/∂y=0; D) ∂z/∂y+y^2=1​

Для решения данной задачи необходимо вычислить частную производную функции \( z \) по переменной \( y \), затем сравнить полученный результат с каждым из предложенных вариантов ответа.

По определению частной производной, для вычисления \( \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \) необходимо взять производную функции \( z \) по \( y \), считая все остальные переменные постоянными.

Начнем с данной функции и возьмем ее частную производную по \( y \):
\[ \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = \frac{{\partial}}{{\partial y}} (xy^2 + x) \]

Для вычисления этой частной производной, необходимо применить правило дифференцирования произведения функций:

1. Дифференцируем первое слагаемое \( xy^2 \):
* При дифференцировании произведения, мы дифференцируем первый множитель (в данном случае \( x \)) и затем умножаем на второй множитель (в данном случае \( y^2 \)).
* В результате, производная первого слагаемого будет равна \( 1 \cdot y^2 \), что равно просто \( y^2 \).

2. Дифференцируем второе слагаемое \( x \):
* Дифференцируем константу, и производная любой константы равна нулю.

Таким образом, получаем:
\[ \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = y^2 + 0 = y^2 \]

Теперь мы можем сравнить полученный результат с каждым из предложенных вариантов ответа:

A) \( \frac{{\partial z}}{{\partial y}} - 2xy = 0 \)
B) \( \frac{{\partial z}}{{\partial y}} - x = y \)
C) \( \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 0 \)
D) \( \frac{{\partial z}}{{\partial y}} + y^2 = 1 \)

Из расчетов мы видим, что правильный ответ на данную задачу - C) \( \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 0 \).

Обоснование:
Мы получили, что частная производная функции \( z \) по переменной \( y \) равна нулю. Это означает, что функция \( z \) не зависит от переменной \( y \). В данном случае, утверждение C) \( \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 0 \) является верным.