Какое центростремительное ускорение у спутника Марса Фобос, если он совершает один полный оборот вокруг Марса

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые основные физические законы и формулы. Одной из таких формул является закон всемирного тяготения:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила гравитационного притяжения между двумя объектами, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы этих объектов, а \(r\) - расстояние между ними.

Также нам понадобится знание о движении по окружности и формуле для центростремительного ускорения \(a_c\):

\[a_c = \frac{{v^2}}{{r}}\]

где \(v\) - линейная скорость объекта, а \(r\) - радиус окружности.

В данной задаче речь идет о спутнике Марса Фобос, который делает один полный оборот вокруг Марса. За время этого оборота проходит определенное расстояние, называемое окружностным путьом \(s\). Окружностный путь можно выразить через линейную скорость и время прохождения оборота:

\[s = v \cdot t\]

где \(t\) - время прохождения оборота.

Из условия задачи мы знаем, что время прохождения оборота составляет 8 часов и 40 минут, что равно 8,67 часам. За это время Фобос проходит окружностной путь, который составляет полный оборот вокруг Марса.

Теперь давайте приступим к решению задачи:

1. Выразим линейную скорость \(v\) через окружностной путь \(s\) и время \(t\):

\[v = \frac{{s}}{{t}}\]

2. Выразим силу гравитационного притяжения \(F\) через массу Марса \(m_{\text{Марса}}\) и Фобоса \(m_{\text{Фобоса}}\) (это масса Фобоса, которую мы должны найти) и радиус орбиты \(r\):

\[F = \frac{{G \cdot m_{\text{Марса}} \cdot m_{\text{Фобоса}}}}{{r^2}}\]

3. Равенство центростремительного ускорения \(a_c\) и \(F\) позволяет нам их равенство, так как сила гравитации отвечает за центростремительное ускорение спутника:

\[a_c = F\]

4. Подставим значения для \(s\) и \(t\), чтобы выразить линейную скорость \(v\) для Фобоса:

\[v = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r_{\text{Фобоса}}}}{{t}}\]

Также рассмотрим, что времени \(t\) составляет 8,67 часа, что равно 31212 секундам.

5. Теперь подставим значения \(v\) и \(a_c\) в формулу центростремительного ускорения \(a_c = \frac{{v^2}}{{r_{\text{Фобоса}}}}\):

\[\frac{{v^2}}{{r_{\text{Фобоса}}}} = \frac{{G \cdot m_{\text{Марса}} \cdot m_{\text{Фобоса}}}}{{r_{\text{Фобоса}}^2}}\]

6. Выразим массу Фобоса \(m_{\text{Фобоса}}\) из этого уравнения:

\[m_{\text{Фобоса}} = \frac{{v^2 \cdot r_{\text{Фобоса}}^2}}{{G \cdot m_{\text{Марса}}}}\]

7. Подставим значения \(v\) и \(r_{\text{Фобоса}}\):

\[m_{\text{Фобоса}} = \frac{{(2 \cdot \pi \cdot r_{\text{Фобоса}} / t)^2 \cdot r_{\text{Фобоса}}^2}}{{G \cdot m_{\text{Марса}}}}\]

8. Теперь остается только подставить численные значения для \(t\), \(G\), \(m_{\text{Марса}}\) и решить полученное уравнение для \(m_{\text{Фобоса}}\).

\[m_{\text{Фобоса}} = \frac{{(2 \cdot \pi \cdot r_{\text{Фобоса}} / 31212)^2 \cdot r_{\text{Фобоса}}^2}}{{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot m_{\text{Марса}}}}\]

Таким образом, мы можем найти центростремительное ускорение спутника Марса Фобос, зная массу Марса.