Какими могут быть периметры всех девяти маленьких треугольников, разделяющих внутреннюю часть большого треугольника

Чтобы найти периметры всех девяти маленьких треугольников, разделяющих внутреннюю часть большого треугольника, нам необходимо рассмотреть различные комбинации сторон этих треугольников.

Давайте обозначим стороны большего треугольника как \(a\), \(b\) и \(c\), а стороны маленьких треугольников будут обозначены соответственно: \(a_1\), \(a_2\), \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), \(c_1\), \(c_2\), \(c_3\) и \(c_4\).

Из условия задачи известно, что периметр большого треугольника равен 120. Поэтому \(a + b + c = 120\).

Теперь рассмотрим возможные комбинации сторон маленьких треугольников:

1. \(a_1\) и \(b_1\) имеют общую сторону \(a\). В этом случае периметр маленького треугольника будет равен \(a + a_1 + b_1\).
2. \(a_1\) и \(b_2\) имеют общую сторону \(a\). В этом случае периметр маленького треугольника будет равен \(a + a_1 + b_2\).
3. \(a_1\) и \(b_3\) имеют общую сторону \(a\). В этом случае периметр маленького треугольника будет равен \(a + a_1 + b_3\).
4. То же самое можно проделать для комбинаций \(a_2\) и \(b_1\), \(a_2\) и \(b_2\), \(a_2\) и \(b_3\).
5. Аналогично, для комбинаций \(b_1\) и \(c_1\), \(b_2\) и \(c_1\), \(b_2\) и \(c_2\), \(b_3\) и \(c_2\), \(b_3\) и \(c_3\).
6. И, наконец, для комбинаций \(c_1\) и \(a_1\), \(c_2\) и \(a_2\), \(c_3\) и \(a_2\), \(c_4\) и \(a_2\).

Теперь, чтобы найти все возможные варианты периметров, мы можем создать таблицу всех комбинаций и рассчитать периметры для каждой комбинации:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Первая сторона} & \text{Вторая сторона} & \text{Третья сторона} & \text{Периметр}\\
\hline
a & a_1 & b_1 & a + a_1 + b_1\\
a & a_1 & b_2 & a + a_1 + b_2\\
a & a_1 & b_3 & a + a_1 + b_3\\
a_2 & b_1 & b_1 & a_2 + b_1 + b_1\\
a_2 & b_2 & b_2 & a_2 + b_2 + b_2\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
c_4 & a_2 & a_2 & c_4 + a_2 + a_2\\
\hline
\end{array}
\]

Заполните таблицу, рассчитав периметры для каждой комбинации, и представьте все возможные варианты периметров как отдельные числа.