Каким точкам принадлежат области значений функции y=1-3 cos²x: y=1, y=-1, y=2, y=-3?

Для начала давайте разберемся с функцией \(y = 1 - 3\cos^2(x)\). Чтобы определить область значений этой функции, мы должны рассмотреть возможные значения \(y\) при всех возможных значениях \(x\).

1. Первое значение \(y = 1\). Чтобы найти соответствующие значения \(x\), при которых \(y = 1\), нам нужно решить уравнение \(1 - 3\cos^2(x) = 1\). Раскроем квадрат косинуса: \(1 - 3(1 - \sin^2(x)) = 1\). Упростим выражение: \(3\sin^2(x) - 2 = 0\). Теперь решим это уравнение: \(\sin^2(x) = \frac{2}{3}\) или \(\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\). Производя анализ, мы обнаружим, что этому уравнению удовлетворяют значения \(x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi\) и \(x = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi\), где \(n\) - целое число.

2. Второе значение \(y = -1\). Аналогично процедуре выше, нам нужно решить уравнение \(1 - 3\cos^2(x) = -1\). Раскрыв квадрат косинуса, мы получим: \(3\sin^2(x) = 2\). Решая это уравнение, мы найдем значения \(x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi\), где \(n\) - целое число.

3. Третье значение \(y = 2\). Решим уравнение \(1 - 3\cos^2(x) = 2\). Раскрыв косинус и упростив, мы получим: \(3\sin^2(x) = -1\). Поскольку уравнение \(\sin^2(x) = -\frac{1}{3}\) не имеет действительных решений (поскольку квадрат синуса всегда положителен), значение \(y = 2\) не принадлежит области значений функции \(y = 1 - 3\cos^2(x)\).

4. Четвертое значение \(y = -3\). Решим уравнение \(1 - 3\cos^2(x) = -3\). Раскрыв косинус и снова упростив, мы получим: \(3\sin^2(x) = -2\). Подобно предыдущему случаю, эта функция не имеет действительных решений, поэтому значение \(y = -3\) также не принадлежит области значений данной функции.

Таким образом, область значений функции \(y = 1 - 3\cos^2(x)\) состоит только из двух значений: \(y = 1\) и \(y = -1\).