Каким способом можно построить график функции y= (x+3)^2 -1? Какие промежутки возрастания и убывания функции можно

Чтобы построить график функции \(y = (x + 3)^2 - 1\), мы можем использовать методы анализа функций. Давайте начнем.

Шаг 1: Найдем основные точки графика.

Для этого нам нужно решить уравнение \(y = 0\). Подставляя \(y = 0\) в уравнение функции, получаем:

\(0 = (x + 3)^2 - 1\)

Приведем уравнение к более простому виду:

\((x + 3)^2 = 1\)

Извлечем квадратный корень и решим уравнение:

\(x + 3 = \pm 1\)

Отсюда получаем два решения: \(x = -4\) и \(x = -2\).

Таким образом, основные точки графика функции находятся при \(x = -4\) и \(x = -2\).

Шаг 2: Определим поведение функции в окрестности основных точек.

Рассмотрим промежутки в окрестности основных точек: \((- \infty, -4)\), \((-4, -2)\) и \((-2, +\infty)\).

Для каждого промежутка найдем знак производной функции. Если производная положительна, функция возрастает. Если производная отрицательна, функция убывает.

Для нахождения производной функции применим дифференцирование:

\(y" = 2(x + 3)\)

Применим значения \(x = -5\), \(x = -3\) и \(x = -1\), чтобы определить знак производной в каждом промежутке:

При \(x = -5\), \(y" = 2(-5 + 3) = -4\), производная отрицательна, следовательно, функция убывает на промежутке \((- \infty, -4)\).

При \(x = -3\), \(y" = 2(-3 + 3) = 0\), производная равна нулю, это значит, что функция достигает точки экстремума в точке \(x = -2\).

При \(x = -1\), \(y" = 2(-1 + 3) = 4\), производная положительна, следовательно, функция возрастает на промежутке \((-1, +\infty)\).

Шаг 3: Построим график функции.

Теперь, когда у нас есть основные точки и информация о поведении функции, мы можем построить график.

На оси \(x\) отметим основные точки \(x = -4\) и \(x = -2\). В окрестности этих точек, для каждого промежутка, нарисуем график функции с учетом его поведения: убывает или возрастает.

Соединим полученные точки гладкой кривой. Получится график функции \(y = (x + 3)^2 - 1\).

Таким образом, используя построенный график функции, мы можем определить следующие:

1. Промежутки возрастания функции: \((-1, +\infty)\).
2. Промежутки убывания функции: \((- \infty, -4)\).
3. Экстремумы функции: функция достигает минимума в точке \(x = -2\).

Пожалуйста, обратитесь, если у вас возникнут еще вопросы по данной задаче.