Каким образом потребитель может оптимально потреблять продукты X и Y с учетом его бюджетных ограничений? На какое

Для решения данной задачи потребительу необходимо найти комбинацию потребления продуктов X и Y, которая обеспечит ему максимальное удовлетворение, с учетом его бюджетных ограничений.

Для начала, давайте определим предельную норму замещения (MRS) между продуктами Y и X, которая составляет \(MRS = \frac{dy}{dx} = 3\frac{u}{x}\), где \(u\) - полезность от потребления продукта Y, а \(x\) - количество потребляемого продукта X.

Чтобы найти оптимальное потребление, мы должны учесть бюджетные ограничения потребителя. У нас есть 200 тенге, которые мы можем потратить на покупку продуктов X и Y.

Предположим, что продукт X стоит \(p_x\) тенге за единицу, а продукт Y - \(p_y\) тенге за единицу. Тогда мы можем выразить наше бюджетное ограничение следующим образом: \(p_x \cdot x + p_y \cdot y \leq 200\).

Также нам известно, что предельная норма замещения равна отношению предельной полезности продукта Y к предельной полезности продукта X, то есть \(\frac{MU_y}{MU_x} = \frac{dy}{dx} = 3\frac{u}{x}\).

Теперь мы можем перейти к решению задачи. Для начала, мы должны найти уравнение бюджетного ограничения. Допустим, продукт X стоит 1 тенге за единицу, а продукт Y стоит \(p_y\) тенге за единицу.

Тогда уравнение бюджетного ограничения будет выглядеть следующим образом: \(x + p_y \cdot y = 200\).

Теперь мы можем выразить \(y\) через \(x\): \(y = \frac{200 - x}{p_y}\).

Мы также можем найти предельные полезности для продуктов X и Y. Обозначим предельную полезность продукта X как \(MU_x\) и она будет равна \(\frac{du}{dx}\).
А предельная полезность продукта Y как \(MU_y\) и она будет равна \(\frac{du}{dy}\).

Учитывая заданную предельную норму замещения \(MRS = 3\frac{u}{x}\), мы можем записать следующее уравнение:

\(\frac{MU_y}{MU_x} = \frac{dy}{dx} = 3\frac{u}{x}\).

Теперь, если мы возьмем производную \(\frac{du}{dx}\), то получим \(MU_x = -3\frac{u}{x^2}\).

Аналогично, если мы возьмем производную \(\frac{du}{dy}\), то получим \(MU_y = 3\frac{u}{\frac{200 - x}{p_y}^2}\).

Теперь мы можем заменить \(MU_x\) и \(MU_y\) в уравнении \(\frac{MU_y}{MU_x} = 3\frac{u}{x}\), чтобы получить следующее уравнение:

\(\frac{3\frac{u}{\frac{200 - x}{p_y}^2}}{-3\frac{u}{x^2}} = 3\frac{u}{x}\).

После сокращения пропорций и упрощения получаем следующее уравнение:

\(\frac{x^2}{(200 - x)^2} = 1\).

Теперь решим это уравнение для определения значения \(x\).

\[x^2 = (200 - x)^2\]
\[x^2 = 40000 - 400x + x^2\]
\[0 = 40000 - 400x\]
\[400x = 40000\]
\[x = \frac{40000}{400} = 100\]

Таким образом, чтобы достичь оптимальной предельной нормы замещения \(MRS = 3\frac{u}{x}\), потребителю следует потратить 100 тенге на продукт X и оставшиеся 100 тенге на продукт Y.