Каким образом можно выразить первую космическую скорость, используя радиус Земли и ускорение свободного падения

Для выражения первой космической скорости (также известной как круговая скорость) с использованием радиуса Земли \(R\) и ускорения свободного падения \(g\) на ее поверхности, мы можем использовать следующие формулы:

1) Формула для вычисления ускорения свободного падения на поверхности Земли:
\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]
где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли и \(R\) - радиус Земли. Значение гравитационной постоянной \(G\) равно примерно \(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\).

2) Формула для вычисления первой космической скорости:
\[v = \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{{R}}}\]

Давайте рассмотрим подробнее шаги, необходимые для решения этой задачи:

Шаг 1: Введение данных
Известно, что радиус Земли \(R\) равен примерно \(6371 \, \text{км}\).

Шаг 2: Вычисление ускорения свободного падения \(g\)
Используя формулу \(g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\), где \(G\) - гравитационная постоянная и \(M\) - масса Земли, мы можем вычислить \(g\). Масса Земли \(M\) примерно равна \(5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}\).

Вычислим:
\[g = \frac{{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2) \cdot (5.972 \times 10^{24} \, \text{кг})}}{{(6371 \times 10^3 \, \text{м})^2}}\]
\[g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2\]

Шаг 3: Вычисление первой космической скорости \(v\)
Используя формулу \(v = \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{{R}}}\), мы можем вычислить \(v\).

Вычислим:
\[v = \sqrt{\frac{{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2) \cdot (5.972 \times 10^{24} \, \text{кг})}}{{6371 \times 10^3 \, \text{м}}}}\]
\[v \approx 7904 \, \text{м/с}\]

Итак, первая космическая скорость \(v\) равна примерно 7904 м/с. Эта скорость представляет собой минимальную скорость, которая необходима для запуска космического объекта на орбиту Земли.