Каким образом можно представить график функции y=5/x и какие характеристики этой функции могут быть описаны?

График функции \(y = \frac{5}{x}\) представляет собой гиперболу в декартовой системе координат. Давайте рассмотрим пошаговое решение.

1. Начнем с построения таблицы значений функции. Для этого выберем несколько значений переменной \(x\) и найдем соответствующие значения функции \(y\):

\[
\begin{align*}
x &= -3, &y &= \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}, \\
x &= -2, &y &= \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}, \\
x &= -1, &y &= \frac{5}{-1} = -5, \\
x &= 1, &y &= \frac{5}{1} = 5, \\
x &= 2, &y &= \frac{5}{2}, \\
x &= 3, &y &= \frac{5}{3}.
\end{align*}
\]

2. После того, как мы получили некоторые значения функции, построим график, используя полученные точки. Мы видим, что функция \(y = \frac{5}{x}\) симметрична относительно оси \(y = x\) и имеет две ветви. Одна ветвь находится в первом и третьем квадрантах, а другая -- во втором и четвертом квадрантах.

3. Важное свойство этой функции -- асимптоты. График функции имеет вертикальную асимптоту \(x = 0\) и горизонтальную асимптоту \(y = 0\). Когда \(x\) становится очень близким к нулю, значение функции \(y\) становится очень большим (положительным или отрицательным). Аналогично, когда \(y\) становится очень большим по модулю, значение \(x\) становится очень близким к нулю.

4. Функция \(y = \frac{5}{x}\) не является периодической и не имеет никаких экстремальных точек. Она монотонно убывает в одной ветви (с первого квадранта в третий) и монотонно возрастает в другой ветви (с третьего квадранта в первый).

5. Если мы изменим знак перед функцией, то получим график функции \(y = -\frac{5}{x}\), который будет являться симметричным отражением графика \(y = \frac{5}{x}\) относительно оси \(x\). Это связано с тем, что изменение знака перед функцией приводит к отражению вдоль оси \(x\).

Надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять, как представить график функции \(y = \frac{5}{x}\) и какие характеристики этой функции могут быть описаны. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!