Каким должно быть значение x, чтобы точка А (x; -4) стала образом точки А (2; у) при гомотетии с центром H (1

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства гомотетии. Гомотетия - это преобразование, при котором все точки фигуры располагаются на прямых, проходящих через одну точку (центр гомотетии), и отношение расстояний от каждой точки фигуры до центра гомотетии остается постоянным (коэффициент гомотетии).

В данной задаче центром гомотетии является точка H(1; -2), а коэффициент гомотетии не указан. Для того чтобы найти значение x, при котором точка А станет точкой А" с координатами A"(2; у), мы должны определить коэффициент гомотетии и применить его к координатам точки А.

Для этого воспользуемся формулами для гомотетии:
\[ x" = x_{H} + k \cdot (x - x_{H}) \]
\[ y" = y_{H} + k \cdot (y - y_{H}) \]

где (x, y) - исходные координаты точки A,
(x", y") - конечные координаты точки A",
(x_H, y_H) - координаты центра гомотетии H,
k - коэффициент гомотетии.

Подставим известные значения в формулы:
\[ 2 = 1 + k \cdot (x - 1) \]
\[ у = -2 + k \cdot (-4 - (-2)) \]

Решим первое уравнение относительно k:
\[ 2 = 1 + k \cdot (x - 1) \]
\[ k \cdot (x - 1) = 1 \]
\[ k = \frac{1}{x - 1} \]

Теперь подставим полученное значение k во второе уравнение и найдем y:
\[ у = -2 + k \cdot (-4 - (-2)) \]
\[ у = -2 + k \cdot (-4 + 2) \]
\[ у = -2 + k \cdot (-2) \]
\[ у = -2 - 2k \]

Таким образом, чтобы точка А (x; -4) стала образом точки А (2; у) при гомотетии с центром H (1; -2), значение x должно быть таким, чтобы k = \(\frac{1}{x - 1}\), а y = -2 - 2k.