Какие значения x являются решением уравнения (x-4)*(x2+16x+64)=13(x+8)?

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово.

\[ (x-4)(x^2+16x+64)=13(x+8) \]

Сначала раскроем скобки слева:

\[ x(x^2+16x+64) - 4(x^2+16x+64) = 13(x+8) \]

Раскроем скобки во всех трех частях:

\[ x^3 + 16x^2 + 64x - 4x^2 - 64x - 256 = 13x + 104 \]

Сократим подобные слагаемые:

\[ x^3 + 12x^2 - 13x - 360 = 0 \]

Теперь попробуем разложить данное уравнение на множители. В качестве первой попытки попробуем использовать рациональные корни. Для этого воспользуемся рациональной формулой корней, которую знаете из курса алгебры.

По рациональной формуле корней, если уравнение \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) имеет рациональный корень \( \frac{p}{q} \), то \( p \) должно быть делителем свободного члена \( d \), а \( q \) должно быть делителем старшего коэффициента \( a \).

В нашем случае \( a = 1 \) и \( d = 360 \), поэтому \( p \) может быть делителем числа 360, а \( q \) может быть делителем числа 1.

Проверим все возможные комбинации делителей 360 и 1, чтобы найти рациональный корень этого уравнения и использовать его для разложения на множители.

Подходящей комбинацией является \( p = 8 \) и \( q = 1 \), а также \( p = -8 \) и \( q = 1 \).

Теперь мы знаем, что уравнение может быть записано следующим образом:

\[ (x-8)(x^2+bx+c) = 0 \]

Разложим \( x^2+bx+c \) на множители, используя полученные \( b \) и \( c \).

Для первой комбинации \( p = 8 \) и \( q = 1 \), получим:

\[ (x-8)(x^2+bx+c) = (x-8)(x^2+8x+45) = 0 \]

Для второй комбинации \( p = -8 \) и \( q = 1 \), получим:

\[ (x+8)(x^2+bx+c) = (x+8)(x^2-8x+45) = 0 \]

Теперь уравнение может быть решено путем приравнивания каждого множителя к нулю:

\[ x-8 = 0 \Rightarrow x = 8 \]

\[ x^2+8x+45 = 0 \]

Для решения квадратного уравнения можно воспользоваться квадратным трехчленом:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

В данном случае \( a = 1 \), \( b = 8 \), и \( c = 45 \). Подставим значения в формулу:

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2-4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64-180}}{2} \]

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{-116}}{2} \]

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{-116}}{2} \]

Так как подкоренное выражение отрицательно, то корней уравнения не существует в области вещественных чисел.

Поэтому решением исходного уравнения является только одно значение:

\[ x = 8 \]

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение данной задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.