Какие значения x удовлетворяют уравнению cos7x - cosx

Хорошо, для решения данного уравнения нам понадобятся некоторые знания из тригонометрии. Выражение \(\cos(A) - \cos(B)\) можно переписать с использованием формулы разности косинусов следующим образом:

\(\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)\)

Теперь мы можем применить эту формулу к исходному уравнению. В уравнении у нас есть \(\cos(7x) - \cos(x)\), поэтому можно выбрать \(A = 7x\) и \(B = x\):

\(\cos(7x) - \cos(x) = -2\sin\left(\frac{7x + x}{2}\right)\sin\left(\frac{7x - x}{2}\right)\)

\(\cos(7x) - \cos(x) = -2\sin\left(\frac{8x}{2}\right)\sin\left(\frac{6x}{2}\right)\)

\(\cos(7x) - \cos(x) = -2\sin(4x)\sin(3x)\)

Теперь у нас есть уравнение \(-2\sin(4x)\sin(3x) = 0\). Чтобы найти значения \(x\), которые удовлетворяют этому уравнению, мы должны рассмотреть два случая:

1. \(\sin(4x) = 0\) или \(\sin(3x) = 0\).

- Для первого случая, \(\sin(4x) = 0\), мы знаем, что синус равен нулю при аргументе, кратном \(\pi\): \(4x = n\pi\), где \(n\) - целое число. Таким образом, \(x = \frac{n\pi}{4}\).

- Для второго случая, \(\sin(3x) = 0\), синус равен нулю при аргументе, кратном \(\pi\): \(3x = n\pi\), где \(n\) - целое число. Значит, \(x = \frac{n\pi}{3}\).

2. \(\sin(4x) = 0\) и \(\sin(3x) = 0\).

- Объединяя оба условия, мы получаем, что \(x\) должно быть кратно и \(\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{\pi}{3}\). Это возможно только при \(x = \frac{n\pi}{12}\), где \(n\) - целое число.

Итак, имеем три случая, удовлетворяющих уравнению: \(x = \frac{n\pi}{4}\), \(x = \frac{n\pi}{3}\) и \(x = \frac{n\pi}{12}\), где \(n\) - целое число.