Какие значения x удовлетворяют уравнению cos7x - cosx

Question

Математика: Какие значения x удовлетворяют уравнению cos7x - cosx

Барсик · Accepted Answer

Хорошо, для решения данного уравнения нам понадобятся некоторые знания из тригонометрии. Выражение

\cos (A) - \cos (B)

можно переписать с использованием формулы разности косинусов следующим образом:

\cos (A) - \cos (B) = - 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \sin (\frac{A - B}{2})

Теперь мы можем применить эту формулу к исходному уравнению. В уравнении у нас есть

\cos (7 x) - \cos (x)

, поэтому можно выбрать

A = 7 x

и

B = x

:

\cos (7 x) - \cos (x) = - 2 \sin (\frac{7 x + x}{2}) \sin (\frac{7 x - x}{2})

\cos (7 x) - \cos (x) = - 2 \sin (\frac{8 x}{2}) \sin (\frac{6 x}{2})

\cos (7 x) - \cos (x) = - 2 \sin (4 x) \sin (3 x)

Теперь у нас есть уравнение

- 2 \sin (4 x) \sin (3 x) = 0

. Чтобы найти значения

x

, которые удовлетворяют этому уравнению, мы должны рассмотреть два случая:

1.

\sin (4 x) = 0

или

\sin (3 x) = 0

.

- Для первого случая,

\sin (4 x) = 0

, мы знаем, что синус равен нулю при аргументе, кратном

π

:

4 x = n π

, где

n

- целое число. Таким образом,

x = \frac{n π}{4}

.

- Для второго случая,

\sin (3 x) = 0

, синус равен нулю при аргументе, кратном

π

:

3 x = n π

, где

n

- целое число. Значит,

x = \frac{n π}{3}

.

2.

\sin (4 x) = 0

и

\sin (3 x) = 0

.

- Объединяя оба условия, мы получаем, что

x

должно быть кратно и

\frac{π}{4}

и

\frac{π}{3}

. Это возможно только при

x = \frac{n π}{12}

, где

n

- целое число.

Итак, имеем три случая, удовлетворяющих уравнению:

x = \frac{n π}{4}

,

x = \frac{n π}{3}

и

x = \frac{n π}{12}

, где

n

- целое число.