Какие значения x удовлетворяют уравнению 6cos^2 4x+2sin 8x=5 в интервале [-п;п]? Найдите корни

Конечно! Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

У нас есть уравнение 6cos^2 4x + 2sin 8x = 5. Чтобы найти значения x, которые удовлетворяют этому уравнению, мы должны найти корни, то есть значения x, при которых левая часть уравнения равна правой части.

1. Начнем с преобразования уравнения. Для начала заменим sin 8x на 1 - cos^2 8x, используя тригонометрическую тождественность sin^2 x + cos^2 x = 1.

Теперь уравнение примет следующий вид: 6cos^2 4x + 2(1 - cos^2 8x) = 5.

После раскрытия скобок имеем: 6cos^2 4x + 2 - 2cos^2 8x = 5.

2. Сгруппируем подобные члены: 6cos^2 4x - 2cos^2 8x + 2 = 5.

3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы уравнение стало равно нулю: 6cos^2 4x - 2cos^2 8x + 2 - 5 = 0.

После упрощения имеем: 6cos^2 4x - 2cos^2 8x - 3 = 0.

4. Давайте заменим cos^2 8x на (1 + cos 16x)/2, используя тригонометрическую формулу двойного угла cos 2x = 2cos^2 x - 1.

Теперь уравнение примет вид: 6cos^2 4x - 2(1 + cos 16x)/2 - 3 = 0.

Упрощаем: 6cos^2 4x - (1 + cos 16x) - 3 = 0.

5. Сгруппируем подобные члены: 6cos^2 4x - cos 16x - 4 = 0.

6. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos 4x. Чтобы его решить, можно использовать формулу дискриминанта и получить значения cos 4x.

Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 6, b = -1 и c = -4.

7. Подставляем значения в формулу дискриминанта: D = (-1)^2 - 4*6*(-4) = 1 + 96 = 97.

Получаем D = 97.

8. Далее, рассмотрим три случая в зависимости от значения дискриминанта D:

a) Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения для cos 4x.

b) Если D = 0, то уравнение имеет одно решение для cos 4x.

c) Если D < 0, то уравнение не имеет действительных решений для cos 4x.

9. Вычислим cos 4x для каждого случая:

a) Если D > 0, то cos 4x = (-b ± √D) / (2a).

Подставляем значения: cos 4x = (1 ± √97) / (2*6).

Рассчитываем два значения: cos 4x1 = (1 + √97) / 12 и cos 4x2 = (1 - √97) / 12.

Это два возможных значения cos 4x.

b) Если D = 0, то cos 4x = -b / (2a).

Подставляем значения: cos 4x = (-1) / (2*6).

Упрощаем: cos 4x = -1 / 12.

Это одно возможное значение cos 4x.

c) Если D < 0, то уравнение не имеет действительных решений для cos 4x. Поэтому мы не получаем значения в этом случае.

10. Теперь, чтобы найти значения x, мы должны решить уравнение 4x = arccos(cos 4x), используя найденные значения cos 4x.

a) Если у нас есть два значения cos 4x (cos 4x1 и cos 4x2), то получим два значения x1 и x2.

Подставляем cos 4x1 в уравнение: 4x = arccos((1 + √97) / 12).

Находим первое значение x1: x1 = arccos((1 + √97) / 12) / 4.

Подставляем cos 4x2 в уравнение: 4x = arccos((1 - √97) / 12).

Находим второе значение x2: x2 = arccos((1 - √97) / 12) / 4.

b) Если у нас есть одно значение cos 4x (cos 4x), то получим одно значение x.

Подставляем cos 4x в уравнение: 4x = arccos(-1 / 12).

Находим значение x: x = arccos(-1 / 12) / 4.

11. Теперь нам остается проверить, входят ли найденные значения x в интервал [-п;п].

Для каждого найденного значения x1, x2 или x, проверяем условие -п ≤ x ≤ п.

Если это условие выполняется, то значение x удовлетворяет уравнению.

Таким образом, мы рассмотрели каждый шаг по нахождению значений x удовлетворяющих данному уравнению 6cos^2 4x + 2sin 8x = 5 в интервале [-п;п]. Не забудьте проверить значения x, чтобы убедиться, что они удовлетворяют условию.