Какие значения x и y дают условные экстремумы функции z = x + 2y, если

Question

Математика: Какие значения x и y дают условные экстремумы функции z = x + 2y, если x^2 + y^2

Tainstvennyy_Mag · Accepted Answer

Чтобы найти значения x и y, при которых функция z = x + 2y достигает условных экстремумов при условии x^2 + y^2 = 1, мы можем использовать метод множителей Лагранжа. Этот метод поможет нам найти точки экстремума, учитывая заданное условие.

Шаг 1: Составим функцию Лагранжа. Для этого введем множитель Лагранжа λ:

L(x, y, λ) = x + 2y + λ(x^2 + y^2 - 1)

Шаг 2: Найдем частные производные функции Лагранжа по x, y и λ и приравняем их к нулю:

∂L/∂x = 1 + 2λx = 0
∂L/∂y = 2 + 2λy = 0
∂L/∂λ = x^2 + y^2 - 1 = 0

Шаг 3: Решим полученную систему уравнений. Сначала найдем значения λ из первых двух уравнений:

1 + 2λx = 0
2 + 2λy = 0

Отсюда получаем:

λ = -1/(2x)
λ = -1/(2y)

Подставим λ в третье уравнение:

x^2 + y^2 - 1 = 0

Шаг 4: Решим полученное уравнение с подстановкой значения λ:

x^2 + y^2 - 1 = 0
(2y)^2 + y^2 - 1 = 0
4y^2 + y^2 - 1 = 0
5y^2 = 1
y^2 = 1/5
y = ±√(1/5)

Теперь найдем значение x, подставив найденное значение y в первое уравнение:

1 + 2λx = 0
1 + 2(-1/(2y))x = 0
1 - x/y = 0
x = y

Таким образом, получаем две точки экстремума:

Точка 1: x = √(1/5), y = √(1/5)
Точка 2: x = -√(1/5), y = -√(1/5)

Эти значения x и y дают условные экстремумы функции z = x + 2y при условии x^2 + y^2 = 1.

Какие значения x и y дают условные экстремумы функции z = x + 2y, если x^2 + y^2

Tainstvennyy_Mag

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!