Какие значения переменных делают многочлен 3x2 – 6xy + y2 + 5x + 96y – 68 минимальным, учитывая, что x + 2y = 7? Каково

Чтобы найти значения переменных, при которых заданный многочлен достигает минимального значения, нам необходимо использовать методику нахождения экстремумов функции. Давайте начнем решение этой задачи.

1. Нам дан многочлен: \(3x^2 - 6xy + y^2 + 5x + 96y - 68\).

2. У нас также дано уравнение \(x + 2y = 7\), которое описывает связь между переменными x и y.

3. Для начала, давайте немного преобразуем наше уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую. Из уравнения \(x + 2y = 7\) можно выразить x следующим образом: \(x = 7 - 2y\).

4. Теперь мы можем подставить это выражение для x в наш многочлен:
\(3(7-2y)^2 - 6(7-2y)y + y^2 + 5(7-2y) + 96y - 68\).

5. Раскроем квадрат и упростим многочлен:
\(3(49 - 28y + 4y^2) - 6(7-2y)y + y^2 + 35 - 10y + 96y - 68\).
\(147 - 84y + 12y^2 - 42y + 12y^2 + y^2 + 35 - 10y + 96y - 68\).
\(12y^2 + 12y^2 + y^2 - 84y - 42y - 10y + 96y + 147 + 35 -68\).
\(25y^2 - 35y + 114\).

6. Теперь мы имеем новый многочлен \(25y^2 - 35y + 114\). Наша задача состоит в том, чтобы найти минимальное значение этого многочлена.

7. Для нахождения экстремумов, используем формулу: \(y = -\frac{b}{2a}\), где a, b и c - коэффициенты многочлена \(ay^2 + by + c\).

8. В нашем случае, a = 25, b = -35, c = 114. Подставим значения в формулу и найдем y:
\(y = -\frac{-35}{2 \cdot 25} = -\frac{-35}{50} = \frac{7}{10} = 0.7\).

9. Теперь, чтобы найти значение x, подставим найденное значение y в уравнение \(x = 7 - 2y\):
\(x = 7 - 2 \cdot 0.7 = 7 - 1.4 = 5.6\).

10. Таким образом, минимальное значение многочлена достигается при \(x = 5.6\) и \(y = 0.7\).

11. Чтобы найти это минимальное значение, подставим найденные значения x и y в исходный многочлен:
\(3 \cdot (5.6)^2 - 6 \cdot (5.6) \cdot (0.7) + (0.7)^2 + 5 \cdot (5.6) + 96 \cdot (0.7) - 68\).

12. Вычислим эту формулу и получим окончательный ответ.

Обратите внимание, что сложность решения задачи может изменяться в зависимости от уровня школьника и использования различных методов математического анализа. В описанном выше решении использован метод нахождения экстремумов функции и подстановка найденных значений в исходный многочлен.