Какие значения параметра а обеспечивают наличие ровно двух различных решений уравнения (x^2 + 4x - a)/(15x^2

Решим данное уравнение и выясним, при каких значениях параметра $a$ у нас будет ровно два различных решения.

Для начала, нам необходимо записать уравнение и привести его к квадратному виду:

$$\frac{x^2+4x-a}{15x^2-8ax+a^2}=0.$$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на знаменатель выражения.

$(x^2+4x-a)(15x^2-8ax+a^2)=0.$

Распределим произведение в левой части уравнения:

$15x^4-8a{x}^3+a^2{x}^2+60x^3-32a{x}^2+4a{x}^2-15a{x}^2+8ax-ax+4x-a^2=0.$

Объединим подобные слагаемые:

$15x^4+(60-8a)x^3+(4a-23a^2+1)x^2+(8a-a)x-a(a+4)=0.$

Поскольку у нас есть такая форма уравнения:

$$A{x}^4+B{x}^3+C{x}^2+Dx+E=0,$$

где $A=15,B=60-8a,C=4a-23a^2+1,D=8a-a,E=-a(a+4),$

можем применить формулу дискриминанта для нахождения количества решений квадратного уравнения $A{x}^2+Bx+C=0.$

Дискриминант $D$ квадратного уравнения $A{x}^2+Bx+C=0$ вычисляется по формуле:

$$D=B^2-4AC.$$

В нашем случае, $A=15,B=60-8a,C=4a-23a^2+1.$

Подставим значения параметров в формулу дискриминанта:

$$D=(60-8a{)}^2-4\cdot 15\cdot (4a-23a^2+1).$$

Теперь, определенное значение $D$ нам скажет, сколько решений имеет квадратное уравнение $A{x}^2+Bx+C=0.$ Если $D>0$, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если $D=0$, то уравнение имеет один действительный корень кратности два. Если $D<0$, то уравнение не имеет действительных корней, а имеет два комплексно-сопряженных корня.

Вычислим значение $D$ и найдем интервалы параметров $a$, при которых уравнение имеет два различных решения.

$$D=(60-8a{)}^2-4\cdot 15\cdot (4a-23a^2+1).$$

$$D=3600-960a+64a^2-60(4a-23a^2+1).$$

$$D=3600-960a+64a^2-(240a-1380a^2+60).$$

$$D=3600-960a+64a^2-240a+1380a^2-60.$$

$$D=1444a^2-1200a+3540.$$

Теперь, решим неравенство $D>0$, чтобы найти значения параметра $a$, при которых уравнение имеет два различных решения.

$$1444a^2-1200a+3540>0.$$

Это неравенство можно решить с помощью факторизации или квадратичной формулы. Разложим его на множители:

$$(38a-59)(38a-60)>0.$$

Дальше рассмотрим два случая:

1. $38a-59>0$ и $38a-60>0.$
2. $38a-59<0$ и $38a-60<0.$

Решим каждый случай.

1. $38a-59>0$ и $38a-60>0.$

Решаем неравенства:

$$\{\begin{array}{l}38a-59>0,\\ 38a-60>0.\end{array}$$

Для первого неравенства:

$$38a>59.$$

$$a>\frac{59}{38}.$$

Для второго неравенства:

$$38a>60.$$

$$a>\frac{60}{38}.$$

Собираем условия в интервальную форму:

$$a\in (\frac{59}{38},\frac{60}{38}).$$

2. $38a-59<0$ и $38a-60<0.$

Решаем неравенства:

$$\{\begin{array}{l}38a-59<0,\\ 38a-60<0.\end{array}$$

Для первого неравенства:

$$38a<59.$$

$$a<\frac{59}{38}.$$

Для второго неравенства:

$$38a<60.$$

$$a<\frac{60}{38}.$$

Собираем условия в интервальную форму:

$$a\in (-\mathrm{\infty },\frac{59}{38})\cup (-\mathrm{\infty },\frac{60}{38}).$$

В итоге, значения параметра $a$, при которых уравнение имеет ровно два различных решения, можно выразить в виде объединения двух интервалов:

$$a\in (\frac{59}{38},\frac{60}{38})\cup (-\mathrm{\infty },\frac{59}{38})\cup (-\mathrm{\infty },\frac{60}{38}).$$

Надеюсь, что я смог подробно и обстоятельно объяснить процесс решения данной задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!