Какие значения параметра а обеспечивают наличие ровно двух различных решений уравнения (x^2 + 4x - a)/(15x^2

Решим данное уравнение и выясним, при каких значениях параметра \(a\) у нас будет ровно два различных решения.

Для начала, нам необходимо записать уравнение и привести его к квадратному виду:

\[\frac{{x^2 + 4x - a}}{{15x^2 - 8ax + a^2}} = 0.\]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на знаменатель выражения.

\( (x^2 + 4x - a)(15x^2 - 8ax + a^2) = 0. \)

Распределим произведение в левой части уравнения:

\( 15x^4 - 8ax^3 + a^2x^2 + 60x^3 - 32ax^2 + 4ax^2 - 15ax^2 + 8ax - ax + 4x - a^2 = 0. \)

Объединим подобные слагаемые:

\( 15x^4 + (60 - 8a)x^3 + (4a - 23a^2 + 1)x^2 + (8a - a)x - a(a + 4) = 0. \)

Поскольку у нас есть такая форма уравнения:

\[ Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E = 0,\]

где \( A = 15, B = 60 - 8a, C = 4a - 23a^2 + 1, D = 8a - a, E = - a(a + 4),\)

можем применить формулу дискриминанта для нахождения количества решений квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0.\)

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\) вычисляется по формуле:

\[D = B^2 - 4AC.\]

В нашем случае, \(A = 15, B = 60 - 8a, C = 4a - 23a^2 + 1.\)

Подставим значения параметров в формулу дискриминанта:

\[D = (60 - 8a)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (4a - 23a^2 + 1).\]

Теперь, определенное значение \(D\) нам скажет, сколько решений имеет квадратное уравнение \(Ax^2 + Bx + C = 0.\) Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных действительных корня. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень кратности два. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней, а имеет два комплексно-сопряженных корня.

Вычислим значение \(D\) и найдем интервалы параметров \(a\), при которых уравнение имеет два различных решения.

\[D = (60 - 8a)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (4a - 23a^2 + 1).\]

\[D = 3600 - 960a + 64a^2 - 60(4a - 23a^2 + 1).\]

\[D = 3600 - 960a + 64a^2 - (240a - 1380a^2 + 60).\]

\[D = 3600 - 960a + 64a^2 - 240a + 1380a^2 - 60.\]

\[D = 1444a^2 - 1200a + 3540.\]

Теперь, решим неравенство \(D > 0\), чтобы найти значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет два различных решения.

\[1444a^2 - 1200a + 3540 > 0.\]

Это неравенство можно решить с помощью факторизации или квадратичной формулы. Разложим его на множители:

\[(38a - 59)(38a - 60) > 0.\]

Дальше рассмотрим два случая:

1. \(38a - 59 > 0\) и \(38a - 60 > 0.\)
2. \(38a - 59 < 0\) и \(38a - 60 < 0.\)

Решим каждый случай.

1. \(38a - 59 > 0\) и \(38a - 60 > 0.\)

Решаем неравенства:

\[\begin{cases} 38a - 59 > 0, \\ 38a - 60 > 0. \end{cases}\]

Для первого неравенства:

\[38a > 59.\]

\[a > \frac{59}{38}.\]

Для второго неравенства:

\[38a > 60.\]

\[a > \frac{60}{38}.\]

Собираем условия в интервальную форму:

\[a \in \left(\frac{59}{38}, \frac{60}{38}\right).\]

2. \(38a - 59 < 0\) и \(38a - 60 < 0.\)

Решаем неравенства:

\[\begin{cases} 38a - 59 < 0, \\ 38a - 60 < 0. \end{cases}\]

Для первого неравенства:

\[38a < 59.\]

\[a < \frac{59}{38}.\]

Для второго неравенства:

\[38a < 60.\]

\[a < \frac{60}{38}.\]

Собираем условия в интервальную форму:

\[a \in \left(-\infty, \frac{59}{38}\right) \cup \left(-\infty, \frac{60}{38}\right).\]

В итоге, значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет ровно два различных решения, можно выразить в виде объединения двух интервалов:

\[a \in \left(\frac{59}{38}, \frac{60}{38}\right) \cup \left(-\infty, \frac{59}{38}\right) \cup \left(-\infty, \frac{60}{38}\right).\]

Надеюсь, что я смог подробно и обстоятельно объяснить процесс решения данной задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!