Какие значения параметра а обеспечивают наличие ровно двух различных решений уравнения (x^2 + 4x - a)/(15x^2

Какие значения параметра а обеспечивают наличие ровно двух различных решений уравнения (x^2 + 4x - a)/(15x^2 - 8ax + a^2) = 0?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Филипп_9424

Филипп_9424

Решим данное уравнение и выясним, при каких значениях параметра a у нас будет ровно два различных решения.

Для начала, нам необходимо записать уравнение и привести его к квадратному виду:

x2+4xa15x28ax+a2=0.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на знаменатель выражения.

(x2+4xa)(15x28ax+a2)=0.

Распределим произведение в левой части уравнения:

15x48ax3+a2x2+60x332ax2+4ax215ax2+8axax+4xa2=0.

Объединим подобные слагаемые:

15x4+(608a)x3+(4a23a2+1)x2+(8aa)xa(a+4)=0.

Поскольку у нас есть такая форма уравнения:

Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0,

где A=15,B=608a,C=4a23a2+1,D=8aa,E=a(a+4),

можем применить формулу дискриминанта для нахождения количества решений квадратного уравнения Ax2+Bx+C=0.

Дискриминант D квадратного уравнения Ax2+Bx+C=0 вычисляется по формуле:

D=B24AC.

В нашем случае, A=15,B=608a,C=4a23a2+1.

Подставим значения параметров в формулу дискриминанта:

D=(608a)2415(4a23a2+1).

Теперь, определенное значение D нам скажет, сколько решений имеет квадратное уравнение Ax2+Bx+C=0. Если D>0, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если D=0, то уравнение имеет один действительный корень кратности два. Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней, а имеет два комплексно-сопряженных корня.

Вычислим значение D и найдем интервалы параметров a, при которых уравнение имеет два различных решения.

D=(608a)2415(4a23a2+1).

D=3600960a+64a260(4a23a2+1).

D=3600960a+64a2(240a1380a2+60).

D=3600960a+64a2240a+1380a260.

D=1444a21200a+3540.

Теперь, решим неравенство D>0, чтобы найти значения параметра a, при которых уравнение имеет два различных решения.

1444a21200a+3540>0.

Это неравенство можно решить с помощью факторизации или квадратичной формулы. Разложим его на множители:

(38a59)(38a60)>0.

Дальше рассмотрим два случая:

1. 38a59>0 и 38a60>0.
2. 38a59<0 и 38a60<0.

Решим каждый случай.

1. 38a59>0 и 38a60>0.

Решаем неравенства:

{38a59>0,38a60>0.

Для первого неравенства:

38a>59.

a>5938.

Для второго неравенства:

38a>60.

a>6038.

Собираем условия в интервальную форму:

a(5938,6038).

2. 38a59<0 и 38a60<0.

Решаем неравенства:

{38a59<0,38a60<0.

Для первого неравенства:

38a<59.

a<5938.

Для второго неравенства:

38a<60.

a<6038.

Собираем условия в интервальную форму:

a(,5938)(,6038).

В итоге, значения параметра a, при которых уравнение имеет ровно два различных решения, можно выразить в виде объединения двух интервалов:

a(5938,6038)(,5938)(,6038).

Надеюсь, что я смог подробно и обстоятельно объяснить процесс решения данной задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello