Какие значения параметра а должны быть, чтобы уравнение (sinx-a)(tgx-a)=0 имело только одно решение на интервале

Для того чтобы уравнение \((\sin x - a)(\tan x - a) = 0\) имело только одно решение на интервале \((-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4})\), нужно найти значения параметра \(a\), при которых оба множителя равны нулю или один из них равен нулю на данном интервале.

Давайте рассмотрим каждый множитель по отдельности и найдем условия для него.

1. \(\sin x - a = 0\)
Для этого множителя получим уравнение:
\(\sin x = a\)

Значение \(a\) должно находиться в диапазоне значений синуса на интервале \((-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4})\). Синус принимает значения от -1 до 1 включительно, поэтому нужно чтобы \(a\) находилось в интервале \([-1;1]\).

2. \(\tan x - a = 0\)
Для этого множителя получим уравнение:
\(\tan x = a\)

Значение \(a\) не должно быть равным нулю, так как тангенс ноль на данном интервале не принимает. Также, чтобы уравнение имело только одно решение, тангенс должен быть монотонно возрастающей или монотонно убывающей функцией на интервале \((-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4})\). Посмотрим на график тангенса:

\[
\graph{y=tan(x)}
\]

Мы видим, что значения тангенса монотонно возрастают на интервале \((-\frac{\pi}{2};0)\) и монотонно убывают на интервале \((0;\frac{\pi}{2})\).

Значит, чтобы уравнение имело только одно решение, нашему параметру \(a\) нужно задать условие:
\(a \in (-\infty; \tan(\frac{\pi}{2})), \quad \text{или} \quad a \in (\tan(0); +\infty)\)

Объединяя все условия, получаем:
\(a \in [-1;1], \quad \text{или} \quad a \in (-\infty; \tan(\frac{\pi}{2})), \quad \text{или} \quad a \in (\tan(0); +\infty)\)

Или, в другой форме:
\(a \in [-1;1], \quad \text{или} \quad a > 1\)

Таким образом, значения параметра \(a\), при которых уравнение \((\sin x - a)(\tan x - a) = 0\) имеет только одно решение на интервале \((-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4})\), определяются неравенством:
\(a \in [-1;1], \quad \text{или} \quad a > 1\)