Какие значения может принимать целое число a, если у квадратных трёхчленов

Question

Математика: Какие значения может принимать целое число a, если у квадратных трёхчленов x2+ax+b и x2+bx+1100 есть общий корень, который является простым числом? Возможны следующие значения для a: [перечислите

Plamennyy_Zmey · Accepted Answer

Для решения данной задачи, мы должны учесть все возможные варианты значений целого числа

a

, при которых квадратные трехчлены

x^{2} + a x + b

и

x^{2} + b x + 1100

имеют общий корень, который является простым числом.

Общий корень данных квадратных трехчленов должен удовлетворять обоим уравнениям. Другими словами, корень

k

должен быть решением уравнений

x^{2} + a x + b = 0

и

x^{2} + b x + 1100 = 0

.

По свойству общего корня, значит что и корень

k

должен быть решением уравнения

(x^{2} + a x + b) - (x^{2} + b x + 1100) = 0

.

Вычтем эти два уравнения и приравняем полученное выражение к нулю:

(x^{2} + a x + b) - (x^{2} + b x + 1100) = 0

Упростим это выражение:

(a - b) x + (b - 1100) = 0

Так как общий корень

k

должен быть простым числом, то он должен делить

(a - b)

и

(b - 1100)

без остатка.

Теперь, давайте рассмотрим все возможные значения целого числа

a

, при которых это равенство будет выполняться:

1. Если

a - b = 0

, то общего корня нет и условие задачи не выполняется.

2. Если

a - b \neq 0

, то

k

должно делиться на

a - b

. Это означает, что возможные значения для

a

- это все делители числа

b

, кроме самого числа

b

.

Таким образом, общие корни могут быть только в тех случаях, когда:

a \in {- b, d_{1}, d_{2}, d_{3}, \dots, d_{n}}

где

d_{1}, d_{2}, d_{3}, \dots, d_{n}

- все делители числа

b

, кроме самого числа

b

.

Пожалуйста, обратите внимание, что для полного решения задачи необходимо знать значение числа

b

. Вам нужно указать это значение, чтобы получить конкретные возможные значения для

a

.

Какие значения может принимать целое число a, если у квадратных трёхчленов x2+ax+b и x2+bx+1100 есть общий корень

Plamennyy_Zmey

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!