Какие значения м делают прямую y=м не пересекающей график функции y=-4-x+1/x^2+x?

Чтобы найти значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) не пересекает график функции \( y = -4 - \frac{x + 1}{{x^2 + x}} \), нужно выяснить, когда уравнение прямой и уравнение функции не имеют общих решений.

Для начала, заменим \( y \) в уравнении функции на \( m \):

\[ m = -4 - \frac{x + 1}{{x^2 + x}} \]

Далее, уравняем \( y \) и \( m \):

\[ m = -4 - \frac{x + 1}{{x^2 + x}} \]

\[ x^2 + x - \frac{x + 1}{m + 4} = 0 \]

Мы получили квадратное уравнение. Чтобы прямая не пересекала график функции, это уравнение не должно иметь решений. Это значит, что его дискриминант должен быть меньше нуля:

\[ D = 1 + \frac{4(x + 1)}{m + 4} < 0 \]

Рассмотрим это неравенство подробнее:

\[ 1 + \frac{4(x + 1)}{m + 4} < 0 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 1 + \frac{4x + 4}{m + 4} < 0 \]

\[ \frac{4x + 4 + m + 4}{m + 4} < 0 \]

\[ \frac{4x + m + 8}{m + 4} < 0 \]

Для того чтобы неравенство было истинным, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки. Рассмотрим каждый из случаев:

1. Если \( m + 4 > 0 \), т.е. \( m > -4 \), то неравенство примет вид:

\[ 4x + m + 8 < 0 \]

В этом случае, чтобы неравенство было истинным, выражение \( 4x + m + 8 \) должно быть отрицательным. Решим это неравенство:

\[ 4x + m + 8 < 0 \]

\[ 4x < -m - 8 \]

\[ x < -\frac{m + 8}{4} \]

2. Если \( m + 4 < 0 \), т.е. \( m < -4 \), то неравенство примет вид:

\[ 4x + m + 8 > 0 \]

В этом случае, чтобы неравенство было истинным, выражение \( 4x + m + 8 \) должно быть положительным. Решим это неравенство:

\[ 4x + m + 8 > 0 \]

\[ 4x > -m - 8 \]

\[ x > -\frac{m + 8}{4} \]

Таким образом, получаем два набора значений \( m \):

1. Если \( m > -4 \), то \( x < -\frac{m + 8}{4} \).
2. Если \( m < -4 \), то \( x > -\frac{m + 8}{4} \).

Именно эти значения \( m \) делают прямую \( y = m \) не пересекающей график функции \( y = -4 - \frac{x + 1}{{x^2 + x}} \).