Какие значения коэффициента c удовлетворяют условию, при котором прямая x+y+c=0 касается окружности x2+y2=162? Запишите

Хорошо, давайте решим данную задачу по шагам.

У нас есть прямая уравнение которой дано в виде \(x + y + c = 0\) и окружность уравнение которой дано в виде \(x^2 + y^2 = 162\).

Чтобы прямая касалась окружности, у них должно быть только одна общая точка. Это значит, что система уравнений, состоящая из уравнения прямой и уравнения окружности, должна иметь ровно одно решение.

Начнем с подстановки уравнения прямой в уравнение окружности:

\[(x+y+c)^2 + y^2 = 162\]

Раскроем квадрат:

\[x^2 + y^2 + c^2 + 2xy + 2cx + 2cy = 162\]

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:

\[x^2 + y^2 + 2xy + 2cx + 2cy + c^2 - 162 = 0\]

Далее, нам нужно выразить \(y\) через \(x\) в этом уравнении. Будем сокращать \(c^2 - 162\) обозначим его за \(k\):

\[y^2 + (2x + 2c)y + (x^2 + 2cx + k) = 0\]

Так как прямая касается окружности, то уравнение должно иметь единственное решение. Это значит, что дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю.

Таким образом, \(D = (2x + 2c)^2 - 4(x^2 + 2cx + k) = 0\).

Раскроем скобки и упростим:

\(4x^2 + 8xc + 4c^2 - 4x^2 - 8cx - 4ck = 0\)

Сократим и выразим \(c\):

\(4c^2 - 4ck = 0\)

\(4c(c-k) = 0\)

Отсюда имеем два возможных значения для \(c\):

1) \(c = 0\)

2) \(c = k\)

Теперь найдем значение \(k\). Для этого подставим уравнение окружности:

\(x^2 + y^2 = 162\)

Если прямая касается окружности, то у них должна быть общая точка. Подставим это в уравнение прямой:

\(x + y + c = 0\)

Подставим \(y = -x - c\) в уравнение окружности:

\(x^2 + (-x - c)^2 = 162\)

Сокращаем и упрощаем:

\(2x^2 + 2cx + c^2 - 162 = 0\)

Сравниваем это с общим уравнением окружности \(Ax^2 + Bx + C = 0\) и находим значения \(A\), \(B\) и \(C\):

\(A = 2\), \(B = 2c\), \(C = c^2 - 162\)

Теперь применим формулу дискриминанта и приравняем его к нулю:

\(D = B^2 - 4AC = (2c)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (c^2 - 162) = 0\)

Решим получившееся уравнение относительно \(c\):

\(4c^2 - 16c^2 + 1296 = 0\)

\(-12c^2 + 1296 = 0\)

Поделим на -12:

\(c^2 - 108 = 0\)

\(c^2 = 108\)

\(c = \pm \sqrt{108}\)

Таким образом, два возможных значения для \(c\) это:

1) \(c = \sqrt{108}\)

2) \(c = -\sqrt{108}\)

Запишем значения \(c\) через точку с запятой, без пропусков и в возрастающем порядке:

\(c = -\sqrt{108}; \sqrt{108}\)