Какие значения k удовлетворяют условию равенства корней выражений √(129-24k) и (7-2k)?

Чтобы найти значения k, которые удовлетворяют условию равенства корней, мы должны приравнять выражения под корнем и решить уравнение.

У нас есть два выражения под корнем: \(\sqrt{129-24k}\) и \((7-2k)\). Для того, чтобы они имели одинаковые корни, значения подкоренного выражения должны быть равными.

Поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\(\sqrt{129-24k} = 7-2k\)

Чтобы решить это уравнение, мы сначала возведем оба выражения в квадрат. Получим:

\(129-24k = (7-2k)^2\)

Раскроем квадрат на правой стороне:

\(129-24k = 49 - 28k + 4k^2\)

Теперь приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону:

\(4k^2 - 4k -80=0\)

Нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти значения k. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

\(D = b^2 - 4ac\)

В нашем уравнении коэффициент \(a = 4\), коэффициент \(b = -4\), и коэффициент \(c = -80\). Подставим значения в формулу и найдем дискриминант:

\(D = (-4)^2 - 4(4)(-80) = 16 + 1280 = 1296\)

Дискриминант положительный, значит, у нас есть два различных корня. Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней. Формула имеет вид:

\(k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Подставим значения и найдем корни:

\(k = \frac{-(-4) \pm \sqrt{1296}}{2(4)} = \frac{4 \pm 36}{8}\)

Теперь решим два уравнения:

Уравнение 1: \(k = \frac{4 + 36}{8} = \frac{40}{8} = 5\)

Уравнение 2: \(k = \frac{4 - 36}{8} = \frac{-32}{8} = -4\)

Таким образом, значения k, которые удовлетворяют условию равенства корней заданных выражений, равны 5 и -4.

Метод, использованный здесь, позволяет найти значения k и обосновать ответ пошагово. Возможность использования квадратных уравнений и формулы дискриминанта помогает нам достичь точного результата.