Какие значения имеют мода, ожидание и медиана случайной величины x, которая задана следующей плотностью распределения

Чтобы определить значения моды, ожидания и медианы случайной величины с заданной плотностью распределения, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем экстремумы функции плотности распределения.
Для этого возьмем производную функции и найдем ее корни:
\[f"(x) = -\frac{3}{4} \cdot 2x + 6 = 0\]
Решив это уравнение, получим:
\[x = \frac{24}{3} = 8\]
Затем проверим, что это действительно экстремум, вычислив вторую производную:
\[f""(x) = -\frac{3}{2} < 0\]
Так как вторая производная отрицательна, точка x = 8 является максимумом плотности.

Шаг 2: Определим значения моды.
Мода - это значение x, в котором функция плотности достигает максимума. Так как мы уже нашли, что максимум плотности достигается при x = 8, мода данного распределения равна 8.

Шаг 3: Найдем значение ожидания (математического ожидания).
Математическое ожидание (M) может быть найдено по формуле:
\[M = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)dx\]
Для данного заданного интервала (3, 5) функция плотности распределения f(x) имеет вид \(f(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 6x - \frac{45}{4}\). Таким образом, ожидание можно рассчитать следующим образом:
\[M = \int_{3}^{5} x \cdot \left(-\frac{3}{4}x^2 + 6x - \frac{45}{4}\right)dx\]
Вычислив этот интеграл, получим значение ожидания.

Шаг 4: Определим значение медианы.
Медиана - это значение x, при котором площадь под графиком функции плотности равна 0,5. Для определения медианы нужно решить следующее уравнение:
\[\int_{-\infty}^{median} f(x)dx = 0.5\]
Для этого расчета нужно выполнить интегрирование от минус бесконечности до значения медианы.

Решение этого уравнения даст нам значение медианы случайной величины x.

Все эти вычисления легче произвести с использованием математических программ или калькуляторов, чтобы получить конкретные значения моды, ожидания и медианы для этой случайной величины.