Какие значения цены и объема продукции следует выбрать для достижения максимальной прибыли при заданных функциях спроса

Для решения этой задачи, мы должны найти значения цены (P) и объема продукции (Q), которые обеспечат максимальную прибыль. Имея функцию спроса на продукцию и функцию общих затрат, мы можем определить функцию прибыли как разность между доходом и затратами.

Для начала, давайте найдем функцию дохода (TR). Функция дохода вычисляется путем умножения цены (P) на объем продукции (Q).

\[TR = P \cdot Q\]

В данном случае, у нас задана функция спроса на продукцию \(P = 60 - Q\), теперь мы можем подставить ее в функцию дохода и упростить ее выражение:

\[TR = (60 - Q) \cdot Q\]

Теперь, давайте найдем функцию затрат (TC). Функция затрат уже предоставлена в условии \(TC = 10 + Q^2\).

Далее, функцию прибыли (π) можно найти как разность между функцией дохода и функцией затрат:

\[\pi = TR - TC\]

Подставим выражения для функций дохода и затрат и упростим:

\[\pi = (60 - Q) \cdot Q - (10 + Q^2)\]

Теперь у нас есть выражение для функции прибыли. Чтобы найти значения цены (P) и объема продукции (Q) для достижения максимальной прибыли, мы можем использовать различные методы, такие как поиск экстремума или дифференцирование функции прибыли.

Давайте возьмем производную функции прибыли по переменной Q и равенство приравняем к нулю, чтобы найти точку экстремума:

\[\frac{d\pi}{dQ} = 0\]

\[60 - 2Q - 2Q = 0\]

\[60 - 4Q = 0\]

Теперь решим это уравнение относительно Q:

\[4Q = 60\]

\[Q = 15\]

Мы нашли значение объема продукции (Q), которое обеспечивает максимальную прибыль. Теперь давайте найдем соответствующее значение цены (P), подставив найденное значение Q в функцию спроса:

\[P = 60 - Q = 60 - 15 = 45\]

Таким образом, чтобы достичь максимальной прибыли, нужно выбрать цену равную 45 и объем продукции равный 15.