Какие значения целого числа p приводят к тому, что уравнение X²-px-8=0 имеет целочисленные корни?

Чтобы найти значения целого числа \(p\), при которых уравнение \(X^2 - px - 8 = 0\) имеет целочисленные корни, мы должны использовать теорему о целочисленных корнях. Теорема гласит, что если у квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) с целыми коэффициентами \(a\), \(b\) и \(c\) существуют целочисленные корни, то эти корни являются делителями свободного члена \(c\) (т.е. \(c\) делится на корни без остатка).

В данном случае уравнение имеет вид \(X^2 - px - 8 = 0\), поэтому свободный член равен -8. Значит, целочисленные корни должны быть делителями числа -8.

Возможные целочисленные корни для этого уравнения могут быть: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Попробуем подставить каждое из этих чисел вместо \(X\) и увидим, какие значения \(p\) удовлетворяют условию.

Подставим \(X = -8\):
\((-8)^2 - p(-8) - 8 = 64 + 8p - 8 = 56 + 8p\)

Подставим \(X = -4\):
\((-4)^2 - p(-4) - 8 = 16 + 4p - 8 = 8 + 4p\)

Подставим \(X = -2\):
\((-2)^2 - p(-2) - 8 = 4 + 2p - 8 = -4 + 2p\)

Подставим \(X = -1\):
\((-1)^2 - p(-1) - 8 = 1 + p - 8 = -7 + p\)

Подставим \(X = 1\):
\((1)^2 - p(1) - 8 = 1 - p - 8 = -7 - p\)

Подставим \(X = 2\):
\((2)^2 - p(2) - 8 = 4 - 2p - 8 = -4 - 2p\)

Подставим \(X = 4\):
\((4)^2 - p(4) - 8 = 16 - 4p - 8 = 8 - 4p\)

Подставим \(X = 8\):
\((8)^2 - p(8) - 8 = 64 - 8p - 8 = 56 - 8p\)

Теперь мы видим, что для того, чтобы уравнение имело целочисленные корни, значение \(p\) должно удовлетворять одному из следующих условий:

1. \(56 + 8p = 0\)
2. \(8 + 4p = 0\)
3. \(-4 + 2p = 0\)
4. \(-7 + p = 0\)
5. \(-7 - p = 0\)
6. \(-4 - 2p = 0\)
7. \(8 - 4p = 0\)
8. \(56 - 8p = 0\)

Теперь решим каждое уравнение относительно \(p\):

1. \(56 + 8p = 0\)
\(8p = -56\)
\(p = -7\)

2. \(8 + 4p = 0\)
\(4p = -8\)
\(p = -2\)

3. \(-4 + 2p = 0\)
\(2p = 4\)
\(p = 2\)

4. \(-7 + p = 0\)
\(p = 7\)

5. \(-7 - p = 0\)
\(p = -7\)

6. \(-4 - 2p = 0\)
\(-2p = 4\)
\(p = -2\)

7. \(8 - 4p = 0\)
\(-4p = -8\)
\(p = 2\)

8. \(56 - 8p = 0\)
\(-8p = -56\)
\(p = 7\)

Таким образом, значения целого числа \(p\), при которых уравнение \(X^2 - px - 8 = 0\) имеет целочисленные корни, равны -7, -2, 2 и 7.