Какие векторы обратной решетки необходимо определить для элементарной ячейки магния с параметрами а=3,20 Å и с = 5,20

Чтобы определить векторы обратной решетки для элементарной ячейки магния в гексагональной системе с параметрами a = 3,20 Å и c = 5,20 Å, нужно использовать формулы, которые связывают основные векторы решетки и обратной решетки.

В гексагональной системе основные векторы решетки обозначаются следующим образом:
\(\mathbf{a}_1 = a\mathbf{e}_1\)
\(\mathbf{a}_2 = a\mathbf{e}_2\),
\(\mathbf{a}_3 = c\mathbf{e}_3\),

где a - параметр решетки, c - высота ячейки, \(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\) - базисные векторы.

Вычислим эти векторы:

\(\mathbf{a}_1 = 3,20 Å\cdot\mathbf{e}_1\)
\(\mathbf{a}_2 = 3,20 Å\cdot\mathbf{e}_2\)
\(\mathbf{a}_3 = 5,20 Å\cdot\mathbf{e}_3\)

Чтобы найти векторы обратной решетки, мы используем соотношение:
\(\mathbf{b}_i = 2\pi\frac{\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k}{\mathbf{a}_i\cdot(\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k)}\),

где i, j, k - индексы перестановки от 1 до 3, и \(\times\) обозначает векторное произведение.

Теперь найдем векторы обратной решетки для данной элементарной ячейки.

Рассмотрим первый вектор обратной решетки \(\mathbf{b}_1\).
Для него будем использовать индексы перестановки i=1, j=2, k=3.

Сначала вычислим векторное произведение \(\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k\):
\(\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\).

Теперь рассчитаем знаменатель \(\mathbf{a}_i\cdot(\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k)\):
\(\mathbf{a}_i\cdot(\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k) = \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{i} = 3,20 Å\).

И, наконец, найдем первый вектор обратной решетки:
\(\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k}{\mathbf{a}_i\cdot(\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k)} = 2\pi\frac{\mathbf{i}}{3,20 Å}\).

Аналогично рассчитаем второй вектор обратной решетки \(\mathbf{b}_2\).
В данном случае векторное произведение будет \(\mathbf{e}_k\times\mathbf{e}_i = -\mathbf{j}\).
Знаменатель будет \(\mathbf{a}_2\cdot(\mathbf{e}_k\times\mathbf{e}_i) = \mathbf{a}_2\cdot(-\mathbf{j}) = 3,20 Å\).
Тогда второй вектор обратной решетки будет:
\(\mathbf{b}_2 = 2\pi\frac{\mathbf{e}_k\times\mathbf{e}_i}{\mathbf{a}_2\cdot(\mathbf{e}_k\times\mathbf{e}_i)} = 2\pi\frac{-\mathbf{j}}{3,20 Å}\).

Таким же образом находим третий вектор обратной решетки \(\mathbf{b}_3\).
Векторное произведение \(\mathbf{e}_i\times\mathbf{e}_j = \mathbf{k}\).
Знаменатель будет \(\mathbf{a}_3\cdot(\mathbf{e}_i\times\mathbf{e}_j) = \mathbf{a}_3\cdot\mathbf{k} = 5,20 Å\).
И третий вектор обратной решетки:
\(\mathbf{b}_3 = 2\pi\frac{\mathbf{e}_i\times\mathbf{e}_j}{\mathbf{a}_3\cdot(\mathbf{e}_i\times\mathbf{e}_j)} = 2\pi\frac{\mathbf{k}}{5,20 Å}\).

Таким образом, векторы обратной решетки для элементарной ячейки магния с параметрами a = 3,20 Å и c = 5,20 Å в гексагональной системе будут:
\(\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{\mathbf{i}}{3,20 Å}\),
\(\mathbf{b}_2 = 2\pi\frac{-\mathbf{j}}{3,20 Å}\),
\(\mathbf{b}_3 = 2\pi\frac{\mathbf{k}}{5,20 Å}\).