Какие угловая и линейная скорости точек на поверхности барабана через 2 с после начала движения, если барабан молотилки

Для решения данной задачи нам потребуется найти угловую скорость \(\omega\) и линейную скорость \(v\) в точке на поверхности барабана через 2 секунды после начала движения.

По определению угловой скорости, она равна производной угла поворота \(\varphi\) по времени \(t\). То есть, \(\omega = \frac{d\varphi}{dt}\).
В данной задаче угловая координата \(\varphi\) зависит от времени \(t\) и представлена уравнением \(\varphi(t) = 2b + ct + dt^3\). Для нахождения производной этого уравнения по времени, нам потребуется найти производные каждого слагаемого:

1. Производная постоянного слагаемого \(2b\) равна нулю, так как константа не зависит от времени.
2. Производная линейного слагаемого \(ct\) равна константе \(c\), так как линейная функция имеет постоянную скорость изменения.
3. Производная кубического слагаемого \(dt^3\) равна \(3dt^2\), так как для степенной функции со степенью \(n\) производная равна произведению степени на коэффициент \(n\) и моном \(x^{n-1}\).

Теперь мы можем выразить угловую скорость \(\omega\) через производные исходного уравнения:

\[
\omega = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{d}{dt}(2b + ct + dt^3) = c + 3dt^2
\]

Теперь найдем линейную скорость \(v\) в точке на поверхности барабана. Линейная скорость определяется как произведение радиуса поворота \(r\) на угловую скорость \(\omega\). В данной задаче радиус барабана молотилки равен половине его диаметра, то есть \(r = \frac{1}{2} \cdot 0,6 \, \text{м} = 0,3 \, \text{м}\). Таким образом, линейная скорость получается следующей:

\[
v = r \cdot \omega = 0,3 \, \text{м} \cdot (c + 3dt^2)
\]

Теперь, чтобы найти значения угловой и линейной скоростей через 2 секунды после начала движения, подставим \(t = 2\) в найденные выражения:

\[
\omega = c + 3d(2^2) = c + 12d \, \text{рад/с}
\]

\[
v = 0,3 \, \text{м} \cdot (c + 3d(2^2)) = 0,3 \, \text{м} \cdot (c + 12d) \, \text{м/с}
\]

Таким образом, угловая скорость точек на поверхности барабана будет равна \(c + 12d\) рад/с, а линейная скорость будет равна \(0,3 \, \text{м} \cdot (c + 12d)\) м/с.

Все эти выкладки позволяют нам найти и объяснить значения угловой и линейной скоростей точек на поверхности барабана через 2 секунды после начала движения.